向量相乘是线性代数中的基本概念，它描述了两个向量的“长度”和方向如何被改变。在数学上，向量的乘法遵循特定的法则，这些法则定义了向量的加法、减法、数乘以及点积等运算。
向量的加法
当我们有两个向量 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, …, a_n) \) 和 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, …, b_n) \) 时，它们的和可以表示为：
\[ \mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, …, a_n + b_n) \]
向量的减法
如果我们有一个向量 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, …, a_n) \) 和一个标量 \( c \)，那么它们的差可以表示为：
\[ \mathbf{d} = \mathbf{a} – c = (a_1 – c, a_2 – c, …, a_n – c) \]
向量的数乘
对于任意两个非零向量 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, …, a_n) \) 和 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, …, b_n) \)，它们的数乘结果是一个标量：
\[ \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n) \]
向量的点积
向量的点积是一种特殊的数乘，它计算的是两个向量的内积（即它们夹角的余弦值）：
\[ \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n) \]
向量的模长（长度）
向量的模长定义为其大小，可以通过以下公式计算：
\[ ||\mathbf{a}|| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2} \]
向量的叉积
如果有两个非零向量 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, …, a_n) \) 和 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, …, b_n) \)，它们的叉积是一个向量，其方向垂直于这两个向量构成的平面，并且其大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积：
\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, …, a_nb_1 – a_1b_n) \]
向量的混合积
如果有三个或更多的向量，它们的混合积是一个标量，它等于这三个向量构成的平行四边形的面积：
\[ (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = ||\mathbf{a} \times \mathbf{b}|| \cdot ||\mathbf{c}|| \]
这些基本的向量操作构成了向量空间的基础，是理解和解决许多线性代数问题的关键。掌握这些法则不仅有助于解决具体的数学问题，还能帮助我们更好地理解物理世界和工程领域中的许多现象。