向量点乘（又称内积）和叉乘（又称外积）是向量运算中的两种基本方式，它们在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。点乘和叉乘的定义和性质是理解和应用这些运算的基础。
点乘的定义是：对于两个向量 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\)，它们的点乘 \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) 是一个标量，其值等于这两个向量的模长乘积与它们夹角余弦值的乘积。具体公式为：
\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta \]
其中，\(|\mathbf{A}|\) 和 \(|\mathbf{B}|\) 分别是向量 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\) 的模长，\(\theta\) 是它们之间的夹角。
点乘的性质包括交换律（\(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\)）、分配律（\(\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{C}\)）和与标量的乘法关系（\(c(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (c\mathbf{A}) \cdot \mathbf{B} = \mathbf{A} \cdot (c\mathbf{B})\)）。
叉乘的定义是：对于两个三维向量 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\)，它们的叉乘 \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\) 是一个向量，其模长等于这两个向量的模长乘积与它们夹角正弦值的乘积，方向垂直于这两个向量构成的平面，具体公式为：
\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta \mathbf{n} \]
其中，\(\mathbf{n}\) 是垂直于 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\) 构成的平面的单位向量，方向由右手定则确定。
叉乘的性质包括反交换律（\(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = -(\mathbf{B} \times \mathbf{A})\)）、分配律（\(\mathbf{A} \times (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \times \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \mathbf{C}\)）和与标量的乘法关系（\(c(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = (c\mathbf{A}) \times \mathbf{B} = \mathbf{A} \times (c\mathbf{B})\)）。
通过理解和应用点乘和叉乘的公式和性质，我们可以轻松掌握这两种基本的向量运算，并在实际问题中灵活运用，计算无忧！