向量的模长，也称为向量的长度或范数，是描述向量大小的一个度量。对于二维或三维空间中的向量，我们可以通过勾股定理来简单地计算其模长。
设向量 \( \mathbf{a} \) 在二维空间中，其分量分别为 \( a_x \) 和 \( a_y \)，则向量 \( \mathbf{a} \) 的模长 \( \|\mathbf{a}\| \) 可以表示为：
\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \]
同样，对于三维空间中的向量 \( \mathbf{b} \)，其分量分别为 \( b_x \)、\( b_y \) 和 \( b_z \)，则向量 \( \mathbf{b} \) 的模长 \( \|\mathbf{b}\| \) 可以表示为：
\[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} \]
这个公式非常直观，只需要将向量的各个分量平方后相加，再开平方根即可得到向量的模长。这种计算方法不仅适用于二维和三维空间，还可以推广到更高维度的空间。例如，在 n 维空间中，向量 \( \mathbf{v} \) 的模长 \( \|\mathbf{v}\| \) 可以表示为：
\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} \]
这种模长公式在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用，是向量运算中的一个基本工具。