向量点积（也称为内积或数量积）是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量的相对大小和方向。在数学上，如果有两个向量 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ 和 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$，它们的点积定义为：
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n$$
这个公式可以展开为：
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n = a_1(b_1 + \ldots + b_n) + a_2(b_1 + \ldots + b_n) + \ldots + a_nb_n$$
这个公式实际上是一个恒等式，因为它对所有向量都成立。如果我们需要计算两个向量的点积，或者将点积的结果用于其他运算，我们就需要使用这个公式。
如何灵活运用点积公式？
1. 计算两个向量的点积：这是最基本的应用。例如，如果你有两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，你可以简单地计算它们的点积来得到一个新的向量 $\mathbf{c}$，其中 $\mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$。
2. 求向量的长度：点积的一个直接结果是向量的长度。对于任意两个非零向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的长度可以通过以下公式计算：
$$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}$$
$$\|\mathbf{b}\| = \sqrt{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}$$
这两个公式分别表示向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的长度。
3. 求向量的模长：点积的另一个重要应用是求向量的模长。对于任意两个非零向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的模长可以通过以下公式计算：
$$|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}$$
$$|\mathbf{b}| = \sqrt{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}$$
这两个公式分别表示向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的模长。
4. 求向量的夹角：如果我们知道两个向量的点积，我们可以通过以下公式计算它们之间的夹角：
$$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$$
其中 $\theta$ 是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。这个公式是基于向量点积的性质得到的，即 $\cos(\theta) = \cos(\theta)$。
5. 求向量的投影：如果我们知道一个向量 $\mathbf{u}$ 和一个标量 $k$，我们可以使用点积来计算 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{v}$ 上的投影。具体来说，$\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{v}$ 上的投影是 $\mathbf{u} – k\mathbf{v}$。这个投影可以通过以下公式计算：
$$\mathbf{p} = \mathbf{u} – k\mathbf{v}$$
其中 $\mathbf{p}$ 是投影向量，$\mathbf{u}$ 是原向量，$k$ 是比例常数，$\mathbf{v}$ 是基准向量。
6. 求向量的加法：如果有两个非零向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的点积等于它们的和。具体来说，$\mathbf{a} + \mathbf{b}$ 可以通过以下公式计算：
$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{a} + \mathbf{b} – (\mathbf{a} – \mathbf{b}) = \mathbf{a} + \mathbf{b} – \mathbf{a} + \mathbf{b}$$
这里使用了点积的分配律。
7. 求向量的减法：如果有两个非零向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的点积等于它们的差。具体来说，$\mathbf{a} – \mathbf{b}$ 可以通过以下公式计算：
$$\mathbf{a} – \mathbf{b} = \mathbf{a} – \mathbf{b} + (\mathbf{a} – \mathbf{b})$$
这里使用了点积的分配律。
8. 求向量的乘法：如果有两个非零向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的点积等于它们的乘积。具体来说，$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 可以通过以下公式计算：
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + (\mathbf{a} – \mathbf{b}) + (\mathbf{b} – \mathbf{a})$$
这里使用了点积的分配律。
9. 求向量的除法：如果有两个非零向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的点积等于它们的商。具体来说，$\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$ 可以通过以下公式计算：
$$\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} = \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} + (\mathbf{a} – \mathbf{b}) + (\mathbf{b} – \mathbf{a})$$
这里使用了点积的分配律。
10. 求向量的除法：如果有两个非零向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的点积等于它们的商的倒数。具体来说，$\frac{1}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}$ 可以通过以下公式计算：
$$\frac{1}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} = \frac{1}{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + (\mathbf{a} – \mathbf{b}) + (\mathbf{b} – \mathbf{a})}$$
这里使用了点积的分配律。
这些只是点积公式的一些基本应用，实际上，点积在数学和物理中有着广泛的应用，包括在解决各种问题时作为关键工具。