在这个游戏中，我们以函数 \( f(x) = x^2 – 1 \) 为基础，探索其切线和法线的特性。首先，我们需要找到函数的导数，以确定切线的斜率。对 \( f(x) \) 求导，得到 \( f'(x) = 2x \)。这意味着在任意点 \( x \) 上，切线的斜率是 \( 2x \)。
假设我们选择一个点 \( (a, a^2 – 1) \) 在函数上，那么在该点的切线方程可以表示为：
\[ y – (a^2 – 1) = 2a(x – a) \]
简化后得到：
\[ y = 2ax – 2a^2 + a^2 – 1 \]
\[ y = 2ax – a^2 – 1 \]
接下来，我们来找法线。法线是垂直于切线的，因此其斜率是切线斜率的负倒数。切线斜率为 \( 2a \)，所以法线的斜率为 \( -\frac{1}{2a} \)。法线方程可以表示为：
\[ y – (a^2 – 1) = -\frac{1}{2a}(x – a) \]
简化后得到：
\[ y = -\frac{1}{2a}x + \frac{1}{2} + a^2 – 1 \]
\[ y = -\frac{1}{2a}x + a^2 – \frac{1}{2} \]
通过这个游戏，我们可以更深入地理解切线和法线的概念，以及它们与函数导数之间的关系。通过选择不同的点 \( a \)，我们可以看到切线和法线是如何变化的，从而更好地掌握微积分中的这些基本概念。