15.3 分式方程
一、概念解读：当方程中分母含有未知数时，我们将其称为分式方程。
二、解分式方程的步骤
（一）常规解法
1. 基本思路：将分式方程转化为整式方程，便于求解。
2. 具体操作：通过“去分母”，即让方程两边同时乘以最简公分母。
3. 实例解析
解：将方程两边同时乘以(30+v)(30-v)，得到
90(30-v) = 60(30+v)
计算得出v=6。
验证：将v=6代入原方程，确认两边是否相等。
v=6是该分式方程的解。
（二）解后验证
在解分式方程后，需验证整式方程的解是否使原方程中分母为0。验证方法为：
将整式方程的解代入最简公分母，若其值不为0，则该解为原分式方程的解；若为0，则该解不是原分式方程的解。
示例求解
解：将方程两边同乘x(x-3)，得到
2x = 3(x-3)
求解得x=9。
验证：当x=9时，x(x-3)≠0，满足条件。
原分式方程的解为x=9。
案例二：
解：等式两边同乘(x-1)(x+2)，得到
x(x+2) – (x-1)(x+2) = 3
求解得x=1。
但需验证：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是该方程的解。
该方程无解。
三、分式方程在现实问题中的应用
（一）识别等量关系：在已知条件中寻找可以用来列方程的等量关系。
例如：两支工程队合作完成一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成三分之一，后加入乙队，两队共同工作半个月完成工程。哪队施工速度更快？
解：设甲队单独施工一个月完成的工程量为X，乙队单独施工一个月完成的工程量设为Y。
根据题意，可列方程并求解。
检验与答案：根据计算和验证，得出乙队施工速度更快。
（二）使用字母表示数（量）：在表述问题时，除了用字母表示未知数（量）外，也可以表示已知数（量）。
例如：某次列车平均提速v km/h。在相同时间内，列车提速前行使s km/h，提速后比提速前多行使50km。求提速前列车的平均速度。
解：设提速前列车的平均速度为x km/h。
根据题意列方程并求解。
检验与答案：通过计算和验证，得出提速前列车的平均速度。
