当然，我可以帮你理解二次函数的顶点表达式，并手把手教你如何推导它。二次函数的标准形式是 \( y = ax^2 + bx + c \)。我们的目标是将其转换为顶点形式 \( y = a(x – h)^2 + k \)，其中 \((h, k)\) 是抛物线的顶点。
首先，我们需要配方。配方的目的是将 \( ax^2 + bx \) 部分转换为一个完全平方形式。我们从标准形式开始：
\[ y = ax^2 + bx + c \]
1. 提取系数 \(a\)：首先，将 \(a\) 提取出来：
\[ y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \]
2. 完成平方：为了完成平方，我们需要在括号内添加一个常数并减去同样的常数。这个常数是 \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)：
\[ y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 – \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c \]
3. 简化括号内的表达式：括号内的前三个项可以写成一个完全平方：
\[ y = a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c \]
4. 分配 \(a\) 并简化：将 \(a\) 分配到括号内的每一项，并简化常数项：
\[ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – a\left(\frac{b}{2a}\right)^2 + c \]
\[ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{b^2}{4a} + c \]
5. 合并常数项：将常数项合并为一个单一的常数 \(k\)：
\[ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c – \frac{b^2}{4a}\right) \]
6. 重新表示顶点形式：将 \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2\) 写为 \((x – h)^2\)，其中 \(h = -\frac{b}{2a}\)，并将常数项 \(k\) 写为 \(c – \frac{b^2}{4a}\)：
\[ y = a(x – h)^2 + k \]
其中，顶点 \((h, k)\) 的坐标为：
\[ h = -\frac{b}{2a} \]
\[ k = c – \frac{b^2}{4a} \]
通过以上步骤，我们成功地将二次函数的标准形式转换为顶点形式。记住，顶点 \((h, k)\) 是抛物线的最高点或最低点，这取决于 \(a\) 的符号。如果 \(a > 0\)，抛物线开口向上，顶点是最低点；如果 \(a < 0\)，抛物线开口向下，顶点是最高点。
希望这个详细的推导过程能帮助你轻松掌握二次函数的顶点表达式！