关于多面体的探究，历史长河中早已开始。回溯至古希腊时期，那位博学多才的柏拉图，他不仅涉猎广泛，还对几何学情有独钟。为了更深入地研究几何学，他在柏拉图学院的门前放置了一块牌子，上面写道：“不通几何者，不得入内。”柏拉图发现除了五种正多面体之外，再无其他，然而这五种多面体的秘密在他离世之前并未完全揭晓。
时间流转了约两千年后，对这个问题的研究才有了突破性的进展，这其中欧拉定理的发现起到了关键作用。在数学的殿堂里，以“欧拉”命名的定理和公式不胜枚举。欧拉定理在几何学中表达了简单几何体面、棱、顶点个数之间的关系，它如同数学中的一颗明珠，F+V-E=2的公式揭示了几何体的内在奥秘。
现在，让我们来一步步探索这个定理的证明过程。我们将立体图形转化为平面图形。想象一下，将几何体的某一面置于地面，通过特定的投影方式，使得除构成该面顶点的其他所有顶点都投影在这一面上，且不同顶点不重叠。这样，立体图形中的顶点就对应于平面图形中线段的交点，面则对应于线段围成的封闭区域，棱则对应于平面图形中的线段。
接下来，我们开始逐步推导。第一步是确定平面图形中各元素的关系。由于投影过程中无顶点重合，所以平面图形中的交点数等于顶点数，线段数等于棱数，但封闭区域数比面数少一个。设交点数为x=V，线段数为y=E，封闭区域数为z=F-1。理清它们之间的关系，就相当于理解了原立体图形的F、V、E之间的关系。
第四步中我们处理掉外部的角。每次处理一个角，就相当于移除两条线段、一个顶点和一个封闭区域。这样操作后，z+x-y的值依然不会改变。
重复上述步骤后，最终我们会得到一个三角形。在这个过程中，z+x-y的值始终为1。由此可知F-1+V-E=1，进而得出F+V-E=2的结论，欧拉定理得证。
现在让我们进一步探讨欧拉定理在正多面体中的应用。正多面体中每个面都是全等的正多边形。假设一个面有m个边和m个顶点，每条棱被两面共用且被两个顶点关联。将这些信息代入欧拉定理中，我们可以得到一个不等式。考虑到最小的正多面体——正四面体（其m=3, n=3），我们可以推导出其他正多面体的可能性。经过计算和推理，我们得知只有五种正多面体存在。