在数学学习的征途上，导数作为连接初等与高等数学的关键桥梁，一直备受关注。今天，我们将深入探讨导数的本质，并详细解析各类基本初等函数的求导方法。
所谓函数y=f(x)在点x=x0处的导数，即函数图像在该点的切线斜率k，以k=y′(x0)=f′(x0)的形式表示。
那么，如何确定这一切线的斜率呢？首先，我们在函数图像上选取两个点
P0(x0,y0)和P(x0+△x,y0+△y)
其中，y0=f(x0)，而y0+△y=f(x0+△x)
△y=f(x0+△x)-y0=f(x0+△x)-f(x0)
连接这两点，形成割线P0P。随着△x逐渐趋近于0，点P将无限接近点P0，割线P0P逐渐转化为切线，其斜率亦趋近于切线的斜率。这一过程的极限值，即为函数在点x0的导数。
割线P0P的斜率计算如下：
[(y0+△y)-y0]/[(x0+△x)-x0]
=△y/△x
因此，过点P0的切线斜率
k=y′(x0)=f′(x0)
=lim(△y/△x)，△x→0
=lim{[f(x0+△x)-f(x0)]/△x}
在函数y=f(x)的定义域内，每一个点的导数所构成的函数，被称为导函数，记作y′=f′(x)。
y′=y′(x)=f′(x)=lim(△y/△x)
=lim{[f(x+△x)-f(x)]/△x}，△x→0
我们将自变量x的增量△x记为dx，称为自变量的微分；将因变量y的增量△y记为dy，称为因变量的微分。据此，导函数可表示为：
y′=y′(x)=f′(x)=dy/dx，dy=f′(x)dx
接下来，我们将首先探究幂函数的导数。
对于任意正整数n，当△x→0时，
(x^n)′=lim{[(x+△x)^n-x^n]/△x}
运用二项式定理展开(x+△x)^n，我们得到：
(a+b)^n=Σ[C(n,r)×a^(n-r)×b^r]r=0，1，2，…，n
(x+△x)^n-x^n
=[x^n+nx^(n-1)△x+C(n,2)x^(n-2)(△x)^2+…+(△x)^n]-x^n
=nx^(n-1)△x+C(n,2)x^(n-2)(△x)^2+…+(△x)^n
(x^n)′=lim{[(x+△x)^n-x^n]/△x}
=lim{[nx^(n-1)△x+C(n,2)x^(n-2)(△x)^2+…+(△x)^n]/△x}
=lim[nx^(n-1)+C(n,2)x^(n-2)(△x)+…+(△x)^(n-1)]，△x→0
=nx^(n-1)+0+…+0=nx^(n-1)
(x^n)′=nx^(n-1)，n∈N*
亦即：若y=x^n，则y′=dy/dx=d(x^n)/dx=nx^(n-1)
dy=d(x^n)=[nx^(n-1)]dx
借助后续将证明的
(e^x)′=e^x，[ln(x)]′=1/x
我们能够将上述结论中的正整数n推广至任意实数α。
依据对数恒等式x=e^(lnx)，
x^α=[e^(lnx)]^α=e^(αlnx)
(x^α)′=[e^(αlnx)]′=e^(αlnx)×(αlnx)′
=x^α×α×(lnx)′
=αx^α×(1/x)=αx^(α-1)
(x^α)′=αx^(α-1)，α∈R
基于拓展至实数域的结论，我们可以迅速推导出几个常见函数的导数。
(x)′=(x^1)′=1×x^(1-1)=x^0=1
(x^2)′=2×x^(2-1)=2×x^1=2x
(1/x)′=[x^(-1)]′=(-1)×x^(-1-1)
=-x^(-2)=-1/(x^2)
(√x)′=[x^(1/2)]′=(1/2)×x^(1/2-1)
=[x^(-1/2)]/2=1/(2√x)
(C)′=(Cx^0)′=C(x^0)′
=C[0×x^(0-1)]=C×0=0
其中C为任意常数
(x)′=1，(x^2)′=2x，(1/x)′=-1/(x^2)
(√x)′=1/(2√x)，(C)′=0
随后，我们将探讨指对数函数的导数。在之前的文章中，我已详细阐述了如何借助自然常数e的定义证明(e^x)′=e^x。
由于证明过程较为复杂，对此感兴趣的朋友可以访问我的主页查阅相关内容。
文章链接：
https://www.toutiao.com/article/7197230973258678822/
(e^x)′=e^x
利用这一结论，我们可以求出以e为底的自然对数函数y=lnx的导数。
y(x)=ln(x)，x=e^y(x)
应用复合函数求导法则
(x)′=[e^y(x)]′=[e^y(x)]×y′(x)
1=x×y′(x)
y′(x)=[ln(x)]′=1/x
进一步，对于任意底数a＞0且a≠1的指数函数y=a^x，其导数可表示为
y(x)=a^x
ln[y(x)]=ln(a^x)=xlna
{ln[y(x)]}′=(xlna)′
[1/y(x)]×y′(x)=lna×(x)′=lna×1=lna
y′(x)=y(x)lna=(a^x)lna
(a^x)′=(a^x)lna
同理，对于一般对数函数求导，
y=log(a,x)，a＞0且a≠1
依据换底公式
[log(a,x)]′=(lnx/lna)′=(lnx)′/lna
=(1/x)/lna=1/(xlna)
[log(a,x)]′=1/(xlna)
指对数函数的导数讨论至此，接下来我们将研究三角函数的导数。
首先，求正弦函数y=sinx的导数。
根据两角和差公式
(sinx)′，△x→0
=lim[sin(x+△x)-sinx]/△x
=lim[sinxcos(△x)+cosxsin(△x)-sinx]/△x，△x→0
=lim[sinx+cosxsin(△x)-sinx]/△x
=lim[cosxsin(△x)/△x]
=cosxlim[sin(△x)/△x]，△x→0
依据重要极限
lim(sinx/x)=1，x→0
lim[sin(△x)/△x]=1，△x→0
(sinx)′=cosxlim[sin(△x)/△x]
=cosx×1=cosx，△x→0
(sinx)′=cosx
类似地，我们亦可推导出
(cosx)′=-sinx
(tanx)′=(secx)^2
(cotx)′=-(cscx)^2
最后，我们将讨论反三角函数的导数，并以反正弦函数为例：
y=arcsinx，x=siny
dx/dy=d(siny)/dy=(siny)′=cosy
注意到arcsinx∈[-1,1]⊆(-π/2,π/2)
cosy=cos(arcsinx)＞0
dx/dy=cosy=√(cosy)^2
=√[1-(siny)^2]=√(1-x^2)
y′(x)=dy/dx=1/(dx/dy)
=1/√(1-x^2)
(arcsinx)′=1/√(1-x^2)
类似地，我们还可求得
(arccosx)′=-1/√(1-x^2)
(arctanx)′=1/(1+x^2)
(arccotx)′=-1/(1+x^2)
至此，关于基本初等函数的导数介绍完毕。在整个推导过程中，我们运用了多种不同的求导方法，值得大家深入体会。
总结而言，本文涉及的方法和知识点包括：
导数定义、微分定义、二项式定理、复合函数求导法则、对数恒等式、反函数定义、自然常数e的定义、换底公式、两角和差公式、正弦重要极限、反三角函数定义等。