老黄这次要分享一个奇特的函数方程，它含有反三角函数，我们要用牛顿切线法来求解它。在“老黄学高数”系列视频的第211讲中，牛顿切线法有详细的介绍。求解过程可以分为三个主要步骤：（1）确定根的大致位置；（2）通过点列{xn}逼近方程的根；（3）检验近似根的绝对误差。在实际操作时，可能需要进行一些调整。
现在我们来求解方程 x-2arctanx=0 的近似根，精确到小数点后三位。
为了方便分析，我们把函数定义为 f(x)=x-2arctanx。我们可以发现这是一个连续的奇函数。由于奇函数一定经过原点，我们知道 x=0 是原方程的一个根。由于奇函数的性质，方程要么没有其他根，要么就有偶数个根（除了0以外），并且它们以互为相反数的形式出现。我们只需要找到一个区间（正区间或负区间）的所有根，就可以得到另一半区间的所有根，从而得到整个方程的所有实数根。
要确定根的大概位置并准备求点列{xn}，我们通常需要先求出一阶导数和二阶导数。一阶导数 f'(x)=(x^2-1)/(1+x^2)，这个函数有两个稳定点 x=1 和 x=-1。二阶导数 f”(x)=4x/(1+x^2)^2，其中 f”(1)>0 和 f”(-1)
当 x 趋于负无穷或正无穷时，f(x)的符号性质也为我们提供了关于根数量的线索。具体来说，我们知道方程有三个根，其中两个位于原点两侧且互为相反数，另一个就是原点本身。由于 f(2) 约等于 -0.2 小于 0，而 f(3) 约等于 0.5 大于 0，我们知道正根 ξ2 位于区间 (2,3) 内。这里需要使用计算器求反三角函数的值来确定根的近似位置。接下来我们将使用牛顿切线法来确定这个根的近似值。通过一步步计算，我们可以得到一个近似值约等于 2.331 的解。同样的方法也可以找到另一个负根约等于 -2.331。然后我们根据奇函数的性质得出结论方程的另一个根就是-ξ的一个准确结果就是这个数字对应的负数（-ξ）。这样我们就找到了方程的所有实数解。接下来是函数图像的展示部分这里用图片的形式展示了整个解题过程可以重复进行多题练习掌握这种求方程近似根的方法以增加对此类问题的熟悉程度。“老黄学高数”的系列视频对这类问题进行了深入的探讨欢迎有兴趣的同学观看学习当然在数学探索过程中犯错误很正常通过错误我们才能找到真理老黄的方法在某些情况下可能存在不严谨之处但希望通过这次分享大家能更加喜欢数学并从中找到乐趣最后以图片形式展示全题的解题过程如下：多做一些练习你会逐渐喜欢上这种求方程近似根的方法的。”
