一: 在高中数学的学习中，函数的对称性是一个重要的概念，主要涉及轴对称和中心对称两种情况。
1. 轴对称的定义: 假设p(x,y)是函数y=f(x)上的一个点，而x=a代表一条对称轴。根据轴对称的性质，点p关于x=a的对称点p'(x’,y’)同样位于函数f(x)上。连接点p和点p’的直线的横坐标中点恰好为a，并且纵坐标相等。
2. 中心对称的定义: 设p(x,y)是函数y=f(x)上的一个点，A(a,b)是对称中心。那么，点p关于点A的对称点p'(x’,y’)也必定在函数f(x)上。连接点p和点p’的直线的横坐标中点为a，纵坐标中点为b。
二: 接下来，我们将详细推导这两个对称性质的具体特点和相应的公式。
关于x=a的轴对称:f(x+a)=f(a-x) (1)
或者，从公式(1)可以推导出: (通过令x=a-x，并将其代入公式(1))
f(x)=(2a-x) (2)
证明过程: 根据函数关于x=a轴对称的定义，点p(x,y)的对称点p(x’,y’)满足以下等式
(x+x’)/2=a
y=y’
由此可得: x’=2a-x
由于点p'(x’,y’)也在函数f(x)上，将其代入得到
f(x’)=f(2a-x)=y’,而y’=y=f(x)
因此，f(2a-x)=f(x)，从而证明了公式(2)。进一步，通过将x替换为x+a，我们得到f(2a-(x+a))=f(a-x)=f(a+x)
从而证明了公式(1)，即f(a-x)=f(a+x)
结论: 函数满足f(x+a)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x)，则该函数关于x=a轴对称。
轴对称与偶函数的关系: 如果令a=0，那么x=0就成为对称轴，此时f(x)=f(-x)，这符合偶函数的定义。
2. 关于A(a,b)点中心对称的结论及证明推导:
首先，我们来看一下结论: f(x+a)+f(a-x)=2b 或f(x)+f(2a-x)=2b
证明: 根据函数关于A(a,b)中心对称的定义，点p(x,y)的对称点p(x’,y’)满足以下等式
(x+x’)/2=a (y+y’)/2=b
因此，我们可以得到:x’=2a-x y’=2b-y
由于点p’在函数f(x)上，所以 f(x’)=y’ y’=f(2a-x)
同时，由于y=f(x) y’=2b-y=2b-f(x)=f(2a-x) 经过整理得到
f(2a-x)+f(x)=2b
将x替换为x+a，对上述等式进行变换，得到f(2a-(x+a))+f(x+a)=2b，从而得到
f(a-x)+f(x+a)=2b
因此，关于A(a,b)中心对称的函数f(x)满足以下性质:
f(2a-x)+f(x)=2b 或 f(a-x)+f(x+a)=2b
中心对称与奇函数的关系: 如果我们将上述等式中的a=0和b=0代入，得到对称点A(0,0)
f(-x)+f(x)=0 即 f(x)=-f(-x), 这表明f(x)是一个奇函数
三: 总结与归纳:
1. 函数的对称性可以转化为函数的奇偶性。
2. 通过证明函数的对称性，可以推导出对称中心或对称轴的位置。
3. 函数的对称性还可能带来周期性，这将在下次讨论。
四: 问题研究:
f(x)=sinx，你能找出它的对称轴和对称中心吗？请写出推导过程。