1. 关于导数（也称作导函数）的定义：假设x0是函数y=f(x)定义域中的一个点，当自变量x在x0处发生一个增量∆x时，函数值y随之产生相应的变化量∆y，其表达式为∆y=f(x0+∆x)-f(x0)。比值∆y/∆x，即[f(x0+∆x)-f(x0)]/∆x，被称为函数y=f(x)在点x0到x0+∆x区间内的平均变化率。如果这个比值的极限存在，那么我们称函数y=f(x)在点x0处是可导的，并将这个极限定义为y=f(x)在x0处的导数，通常记作f´(x0)或者y´|x=x0，其表达式为f´(x0)=lim(∆x→0)[f(x0+∆x)-f(x0)]/∆x。
特别说明：①增量∆x指的是自变量的改变量，它可以是正数也可以是负数，但绝对不能为零。②如果函数y=f(x)的定义域为集合A，而其导函数y=f'(x)的定义域为集合B，那么集合A与集合B之间的关系是A包含于B且等于B。
2. 函数y=f(x)在点x0处连续性与可导性之间的关系：⑴函数y=f(x)在点x0处连续是其在点x0处可导的必要条件，但不是充分条件。可以证明，如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么它在该点必定是连续的。事实上，如果我们令x=x0+∆x，那么当x→x0时，相当于∆x→0。因此，lim(∆x→0)f'(x0)=f(x0)。⑵然而，如果函数y=f(x)在点x0处连续，并不能保证它在点x0处一定可导。例如，函数f(x)=|x|在点x0=0处是连续的，但在该点不可导，因为当∆x＞0时，∆y/∆x=|∆x|/∆x=1；当∆x＜0时，∆y/∆x=|∆x|/∆x=-1，所以极限lim(∆x→0)∆y/∆x不存在。
特别说明：①如果一个函数是可导的奇函数，那么它的导函数是一个偶函数。②如果一个函数是可导的偶函数，那么它的导函数是一个奇函数。
3. 导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率。换句话说，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率等于f'(x0)，而切线的方程可以表示为y-y0=f'(x0)(x-x0)。
4. 导数的四则运算法则：⑴对于函数的和或差，其导数等于各函数导数的和或差，即(u±v)’=u’±v’。如果y=f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)，那么y’ = f’₁(x)+f’₂(x)+…+f’n(x)。⑵对于函数的积，其导数等于各函数的导数与另一函数的乘积之和，即(uv)’=vu’+v’u。特别地，如果有一个常数c，那么(cv)’=cv'(c为常数）。⑶对于函数的商，其导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差的商，再除以分母的平方，即(u/v)’=(vu’-v’u)/v²（其中v≠0）。特别说明：①u和v必须是可导函数。②如果两个函数都是可导的，那么它们的和、差、积、商也必定是可导的；但如果两个函数都不可导，那么它们的和、差、积、商不一定都不可导。例如，设f(x)=2sinx+2/x，g(x)=cosx-2/x，那么f(x)和g(x)在x=0处都不可导，但它们的和f(x)+g(x)=sinx+cosx在x=0处是可导的。
5. 复合函数的求导法则：对于复合函数f[φ(x)]，其导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数，即f’x(φ(x))=f'(u)φ'(x)或者y’x=y’u·u’x。这个法则可以推广到具有多个中间变量的复合函数。
6. 函数的单调性：⑴函数单调性的判定方法：假设函数y=f(x)在某个区间内是可导的，如果在该区间内f'(x)始终大于0，那么函数y=f(x)是增函数；如果f'(x)始终小于0，那么函数y=f(x)是减函数。⑵常数的判定方法：如果函数y=f(x)在区间I内处处有f'(x)=0，那么函数y=f(x)是一个常数函数。特别说明：①f(x)>0是f(x)递增的充分条件，但不是必要条件。例如，函数y=2x³在(-∞,+∞)上并不是在所有点都有f(x)>0，有一个例外点即x=0时f(x) = 0。同样，f(x)<0是f(x)递减的充分非必要条件。②一般地，如果f(x)在某区间内只在有限个点处为零，而在其余各点均为正（或负），那么f(x)在该区间上仍然是单调增加（或单调减少）的。
7. 极值的判别方法：极值是指函数在某一点x0附近的所有的点，都有f(x)<f(x0)（极大值）或者f(x)>f(x0)（极小值）。当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值。也就是说，x0是极值点的充分条件是x0两侧导数异号，而不是f'(x)=0。此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点。当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）。
特别说明：①如果点x0是可导函数f(x)的极值点，那么f'(x0)=0。但反过来不一定成立。对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零。例如，函数y=f(x)=x³，x=0使f'(x)=0，但x=0不是极值点。②例如，函数y=f(x)=|x|，在点x=0不可导，但点x=0是函数的极小值点。
8. 极值与最值的区别：极值是在局部范围内对函数值进行比较，而最值是在整个区间上对函数值进行比较。
特别说明：函数的极值点一定是有意义的。
9. 常见函数的导数：I.C’=0（C为常数） (sinx)’=cosx (arcsinx)’=1/√(1-x²) (xⁿ)’=nx(n-1)次方（n∈R） (cosx)’=-sinx (arccosx)’=-1/√(1-x²) II. (ln x)’=1/x (log a x)’=1/xlogae (arctanx)’=1/(x²+1) （e的x次方)’= e的x次方 (a的x次方)’=a的x次方lna (arc cotx)’=-1/(x²+1) III. 求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)’=1/x。②对于形如y=(x-a₁)(x-a₂)…(x-an)或者y=(x-a₁)(x-a₂)…(x-an)/(x-b₁)(x-b₂)…(x-bn)的函数，可以两边同时取自然对数，从而将问题转化为求代数和的形式。③对于无理函数或者形如y=x的x次方的函数，可以取自然对数后再变形为y=lnx，对两边求导后可得y/y=lnx+x*1/x=>y’=ylnx+y=>y’=x的x次方lnx+x的x次方。