郑明（南京师范大学附属中学）
在笛卡尔坐标系中，直线的表达方式呈现多样化。常见的方程形式包括点斜式、截斜式、两点式、截距式、法线式以及一般式，此外还有参数形式的表达。之所以存在如此多种形式的方程，主要是因为它们各自具备独特的性质，能够满足不同场景下的应用需求。在解决具体问题时，根据题目的特征选择恰当的直线方程形式，从而实现准确、合理且简洁的解题过程，是学习直线方程时需要重点关注的内容。
为了在解题过程中能够巧妙地选择方程形式，首先需要全面了解各种形式的方程的特点及其相互之间的关联。显而易见，截斜式可以视为点斜式的一种特殊情况，而截距式则是两点式的特殊形式。由于通过两个已知点的直线是具有相同斜率（或倾角）的直线族中的一员，因此在这四种方程形式中，点斜式是最为基础的。此外，直线的斜率在直线应用中扮演着至关重要的角色，在处理与夹角相关的问题时几乎不可或缺。在解析几何中，两条直线的夹角通常通过它们的倾角来表示，而倾角又通过正切函数转化为斜率，进而与点的坐标建立联系。至于直线的法线式方程，由于其系数中包含距离信息，因此在解决与距离相关的问题时显得尤为便利。
接下来，通过几个实例来探讨选择方程形式的问题，同时也会提及一些在解题过程中容易出现的错误。
［例1］已知等腰三角形的底边所在直线的方程为3x+y-17=0，一腰所在直线的方程为x+y+7=0，另一腰经过点(3,12)，求另一腰所在直线的方程。
解 一个三角形成为等腰三角形的充要条件中，“底角相等”这一性质使用起来最为便捷。这启示我们可以利用斜率的概念。现在所求的直线方程需要经过一个已知点，因此采用点斜式会更加合适。
设另一腰的直线斜率为k，三角形底角为θ，由于θ为锐角，所以
本文写作于八十年代，现在正切写为:tan θ
解得k＝-1，k＝7，经检验知，k＝-1不符合要求，（为什么需要检验？）于是另一腰的直线方程为
y-12=7(x-3),
即
7x-y-9=0.
这种解法是否存在问题？读者可以先自行思考，通过阅读下面的例2就能得到答案。
［例2] 已知两点 A (1,0)、 B (3,2√3）到直线l的距离都等于1，求直线l的方程。
解 没有给出任何已知点，因此选择两点式与点斜式（包括斜截式）存在不便。由于题目中涉及“距离”这一条件，似乎应该选择法线式。为了避免解三角方程，一种常用的方法是仍然先设为斜截式再化成法线式来进行求解。
学习解析几何时要时刻注意联系平面几何的知识。要经常利用平面几何中的定理来简化问题中的条件与推理过程（在例1中，我们就是这样做的）。还要利用平面几何的性质作为对解答的一种直观检验。本例得出了三条直线，可能已经让一些同学感到意外。但如果用平面几何的方法进行思考，那么就会很容易发现应该存在四条直线（见图）。那么，还有一条直线到哪里去了？经过进一步研究，发现
除了x=3)，只是偶然x=3不是所求的解，因而没有导致错误的结果。
这个例子告诉我们，应该关注各类直线方程所不包括的直线类型。点斜式（斜截式）不包括与 y 轴平行的直线，截距式不包括与x、y 轴平行的直线，而法线式和一般式则没有上述限制。因此，例2如果使用后两种直线方程进行求解，都可以得到四条直线，只是计算过程会相对复杂一些。同学们不妨尝试进行验证。
最后，列出几个题目供同学们进行练习。
1、已知等腰直角三角形斜边所在的直线方程为 3x-y+5=0，直角顶点为（4,1)，求两条直角边所在直线的方程。
2、设直线2x+ y=1为三角形一内角平分线，点（1,2）与（-1,-2）为三角形两顶点，求其第三顶点。
3、已知直线过点（-1，-4)，它在两坐标轴上的截距为负值，且其积为最小，求此直线方程。
4、已知直线过点（-1,1)，且与两坐标轴围成三角形的面积等于3，求其方程。
5、一直线过点（-1,1)，它被两平行直线
x+2y=1与x+2y=3
所截得线段的中点在直线x-y=1上，求其方程。
6．已知直线被两平行直线
3x+4y+8=0与3x+7y-7=0
所截得线段长为3√2，并过点（2,3)，求其方程。
7，设 f(x,y)=a₀x³+a₁x²y+a₂xy²+a₃y³=0表示三条直线，则点 P ( m,n）到此三直线的距离之积为
本文完。
选自《数理化生园地》创刊号1983年，上海科学技术出版社。
特别收录
《数学辞海》第一卷中关于直线方程的部分条目:
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。