1、算术平方根的定义阐述
通常情况下，若一个正数x的平方等于某个数a，即满足x²=a的关系，那么这个正数x就被定义为数a的算术平方根。
算术平方根所具有的特殊性质包括两个方面的非负性：首先是被开方数a必须为非负数；其次是算术平方根本身也必须为非负数。
具体来说，被开方数a应当满足a≥0的条件，同时算术平方根x也应当满足x≥0的要求。
2、非负数算术平方根的计算方法
①计算1又7／9的算术平方根；②求√2.89的值；
③探讨（兀－10）＾2的算术平方根。
解：①首先将1又7／9转化为分数形式，即√16／9，计算结果为4／3；
②直接计算√2.89，得到结果为1.7，因此√2.89的算术平方根为√1.7；
③由于兀－10小于0，根据算术平方根的性质，√（兀－10）＾2的计算结果为10－兀。
3、算术平方根的实际应用案例
①已知√（m－5）＾2＝5－m，求m的取值范围。
分析：由于√（m－5）＾2是实数（m－5）＾2的算术平方根，必然为非负数，因此5－m必须大于或等于0，从而得出m≤5的结论。
②假设实数N的算术平方根为3m＋4，平方根为±（2m－4），求N的具体数值。
分析：由于3m＋4是实数N的算术平方根，因此它必须大于或等于0，从而得出m≥－4／3的条件。
又因为实数N的平方根为±（2m－4），因此可以建立方程3m＋4＝2m－4或3m＋4＝－（2m－4），解得m＝－8或m＝0。
综合以上分析，确定m＝0，此时3m＋4＝4，因此所求实数N＝4＾2＝16。
③在△ABC中，三边长度分别为a，b，c，且满足√（a－5）＋b＾2－24b＋144＝0，
①求c的取值范围；
②若c＞b＞a，且△ABC为直角三角形，求c的具体数值。
分析：
将原方程变形为√（a－5）＋（b－12）＾2＝0，
根据题意可知a－5＝0，b－12＝0，
解得a＝5，b＝12。
①根据三角形三边关系，可得7＜c＜17。
②由于△ABC为直角三角形，且c＞b＞a，因此c为斜边。应用勾股定理，得
c＾2＝a＾2＋b＾2＝5＾2＋12＾2，
即c＾2＝169，解得c＝13。
④在△ABC中，a，b，c分别是角A，角B，角C的对边，且满足（a－3）＾2＋｜b－5｜＋√（c－4）＾2＝0，试判断△ABC的形状。
分析同上。
解：根据题意得
a－3＝0，b－5＝0，c－4＝0，
解得a＝3，b＝5，c＝4。
因为a＾2＋c＾2＝3＾2＋4＾2＝25，
b＾2＝5＾2＝25，
所以a＾2＋c＾2＝b＾2，故△ABC为直角三角形。
⑤若｜x｜＝12，√（y＾2）＝15，且｜x＋y｜＝x＋y，求x－y的值。
分析：因为｜x｜＝12，所以x＝±12，
又因为√（y＾2）＝15，所以y＝±15。
因为｜x＋y｜＝x＋y，所以x＋y≥0。
故当x＝12时，y＝15，
此时x－y＝12－15＝－3；
当x＝－12时，y＝15，
此时x－y＝－12－15＝－27。
综上所述，x－y的值可能为－3或－27。