什么是蝴蝶定理？让我们先通过一个动态图像来直观地理解它。
蝴蝶定理的动态演示
观察上图，您是否觉得它看起来像一只蝴蝶正在扇动它的翅膀呢？
蝴蝶定理（Butterfly Theorem）是欧氏平面几何中一个令人惊叹的成果。这个几何命题最早于1815年由W.G.霍纳提出并给出了证明。而“蝴蝶定理”这一名称则最早出现在1944年2月的《美国数学月刊》上，因为其图形恰好呈现出蝴蝶的形态。这个定理的证明方法多种多样，至今仍吸引着众多数学爱好者的兴趣，并在各类考试中经常以不同的形式出现。
接下来，我们将从以下几个方面深入探讨蝴蝶定理：
1、蝴蝶定理的定义；
2、蝴蝶定理及其证明过程；
3、蝴蝶定理的各种变体；
4、蝴蝶定理的实际应用。
首先，让我们明确蝴蝶定理的具体定义。
1、蝴蝶定理的定义：设AB是一条圆的弦，其中点为S，圆心为O。通过S点作两条任意弦CD和EF，它们分别与圆相交于点C、D、E、F。连接CF和ED，它们分别与AB相交于点M和N。我们需要证明的是：MS等于NS。
蝴蝶定理的核心在于：无论C点和E点如何在圆O上移动，MS和NS的长度始终保持相等。
2、蝴蝶定理及其证明
定理内容：如图所示，过圆中弦AB的中点M引两条任意弦CD和EF，连接CF和ED，它们分别与AB相交于点P和Q。那么，PM的长度将等于MQ的长度。
蝴蝶定理的证明思路：点Q与点Q’重合
证明过程：首先，过点M作一条垂直于AB的直线I。然后，作出直线CF关于直线I的对称线，这条对称线与圆相交于点C’和F’，并与线段AB相交于点Q’。接下来，连接FF’、DF’、Q’F’和DQ’。根据圆的性质和图形的对称性，我们可以得出以下结论：
∠MF’Q’等于∠MFP，∠F’Q’M等于∠FPM；
并且FF’平行于AB，PM等于MQ’。
由于C、D、F’和F四点共圆，因此∠CDF’加上∠CFF’等于180度。同时，由于FF’平行于AB，∠Q’PF加上∠CFF’也等于180度。由此可见，∠CDF’等于∠Q’PF，即∠MDF’等于∠Q’PF。又因为∠Q’PF等于∠PQ’F’，即∠Q’PF等于∠MQ’F’，所以∠MDF’也等于∠MQ’F’。
这表明点Q’、D、F’和M四点共圆，因此∠MF’Q’等于∠Q’DM。由于∠MF’Q’等于∠MFP，所以∠MFP也等于∠Q’DM。而∠MFP等于∠EDM，因此∠EDM也等于∠Q’DM。这说明点Q与点Q’重合，即PM等于MQ。
此定理还可以通过解析法进行证明：
证明思路：设法证明直线DE和CF在x轴上的截距互为相反数。
证明过程：以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，将M点设为坐标原点。
设直线DE和CF的方程分别为x=m1y+n1和x=m2y+n2；直线CD和EF的方程分别为y=k1x和y=k2x。
那么，经过C、D、E、F四点的曲线系方程可以表示为(y=k1x)(y-k2x)+λ(x-m1y+n1)(x-m2y+n2)=0。
整理后得到：
(λ+k1k2)x^2+(1+λm1m2)y^2-[(k1+k2)+λ(m1+m2)]xy-λ(n1+n2)x+λ(n1m2+n2m1)y+λn1n2=0。
由于C、D、E、F四点位于同一个圆上，因此上述方程表示的是一个圆。所以必须满足以下条件：
λ+k1k2等于1+λm1m2，且不等于0；
且(k1+k2)+λ(m1+m2)等于0。
如果λ等于0，那么k1k2等于1，k1+k2等于0，这是不可能的，因此λ不等于0；
又因为y轴是弦AB的垂直平分线，所以圆心应该位于y轴上，因此有λ(n1+n2)等于0，从而得出n1+n2等于0。
这说明直线DE和CF在x轴上的截距互为相反数，即PM等于MQ。
注：利用曲线系方程解题是坐标法的一大特点，它可以有效地解决直线与曲线混合在一起的问题。例如，在本题中，四条直线方程一经组合，就神奇地变成了圆方程，问题瞬间得到解决，真是奇妙。运用这种方法解题时，不拘泥于细节，能够从整体上考虑问题。
另外，待定系数法在其中扮演了非常重要的角色，需要特别注意掌握其用法。
当然，上述只是列举了蝴蝶定理的两种证明方法，实际上还有许多其他的证明方法，如霍纳证法、作图法、对称法、面积法、帕斯卡证法、相似法、射影法等，这里不再一一列举，有兴趣的读者可以尝试其他证明方法。
3、蝴蝶定理的变体
（1）过圆中弦AB的中点M引两条任意弦CD和EF，连接CE和DF分别交AB的延长线于Q和P，则PM等于QM。
过圆中弦AB的中点M引两条任意弦CD和EF，连接CE和DF分别交AB的延长线于Q和P，则PM等于QM。
简略证明：作DJ平行于AB，
根据平行弦的性质，JM等于DM；
∠AMD等于∠JMQ；
又∠AMD加上∠JDM等于180度；
∠JDM等于∠CEJ，∠CEJ加上∠JEQ等于180度；
推出∠JMQ等于∠JEQ，
因此J、Q、E、M四点共圆；
推出∠CEF等于MJQ等于∠MDP
推出△PDM≌△QJM；
因此PM等于QM。
（2）（圆外蝴蝶定理）AB是一条圆外直线，OM垂直于AB于M，过M点作两条割线CD和EF，CF与ED分别与AB交于P和Q，则PM等于QM。
（圆外蝴蝶定理）AB是一条圆外直线，OM⊥AB于M，过M点作两条割线CD和EF，CF与ED分别与AB交于P和Q，则PM等于QM。
简略证明：作JE平行于AB，导出角度关系得：J、C、B、P四点共圆；
推出∠MJP等于∠DCP等于∠DFE；
推出△JMP≌△EMQ；
推出PM等于QM。
（3）（退化形式）如图所示，PA是△ABC外接圆O的切线，过点P作OP的垂线与直线AB和AC分别交于E和F。求证：PE等于PF。
（退化形式）如图所示，PA是△ABC外接圆O的切线，过点P作OP的垂线与直线AB和AC分别交于E和F。求证：PE等于PF。
简略证明：作JB平行于EF；
根据垂径定理可以证明：BP等于JP；
∠BPF等于∠JBP等于∠BJP等于∠JPE
∠JPF等于∠BPE，
又∠JBP加上∠JAC等于180度，∠JBP加上∠BPE等于180度
∠JAC等于∠JPF；
J、F、P、A四点共圆；
∠PAF等于∠PJF；
又PA为切线∠PAF等于∠PBE等于∠PJF；
△JFP≌△BEP
PE等于PF。
（4）（坎迪定理）如图所示，设AB是一条圆内弦，过AB上一点M作两条弦CD和EF，设CF和ED交AB于P和Q，并设AM等于a，BM等于b，PM等于x，QM等于y，则有
坎迪定理
简略证明：根据共角定理得：
（5）M是圆内弦AB的中点，过圆内一点G引两条弦CD和EF，它们分别交AB于H和K，使得HM等于MK，连接CF和ED，它们分别交AB于P和Q，那么PM等于MQ。
M是圆内弦AB的中点，过圆内点G引弦CD和EF，交AB于H和K，使HM等于MK，连接CF、ED，交AB于P和Q，那么PM等于MQ。
此题的证明方法留给读者思考。
（6）如图所示，H是锐角三角形ABC的垂心，D是BC的中点，过H点垂直于DH的直线与边AB和AC分别交于点E和F。求证：HE等于HF。
H是锐角三角形ABC的垂心，D是BC的中点，过H点垂直于DH的直线与边AB和AC分别交于点E和F。求证：HE等于HF
此题的证明方法留给读者思考。
4、蝴蝶定理的应用
（1）（2002年我爱数学初中生夏令营一试）如图所示，设AB和CD是⊙O的两条直径，过B点作PB垂直于AB，并与CD的延长线相交于点P，过P点作直线与⊙O分别交于E和F两点，连接AE和AF分别与CD交于G和H。求证：OG等于OH。
2002年我爱数学初中生夏令营一试
（2）（2011新加坡数学奥林匹克）在锐角非等腰直角三角形ABC中，AB大于AC，O和H分别是△ABC的外心和垂心，Q是AC上的点，且HQ的延长线与BC的延长线相交于P，AD垂直于BC于D，若BD等于DP，求证：∠ODQ等于90度。
2011新加坡数学奥林匹克
（3）（1990年IMO预选题）已知在锐角三角形ABC中，BC大于AC，O和H分别是△ABC的外心和垂心，CF是高，过点F且垂直于OF交AC于点P，证明：∠FHP等于∠A。
1990年IMO预选题
（4）在锐角三角形ABC中，AM是BC边上的中线，BD垂直于AC，CE垂直于AB，过点A作AM的垂线交DE的延长线于F，FA的延长线交BC的延长线于G，求证：AF等于AG。
（5）如图所示，△ABC中，AB大于AC，BD垂直于AC于D，CE垂直于AB于E，F是BC的中点，AG垂直于AF交DE的延长线于G，连接GF，求证：AF平分∠GFC。
（6）如图所示，过点A作△ABC外接圆的切线，交BC的延长线于D，倍长CD至E，作EF平行于AC交BA的延长线于F。求证：OD垂直于DF。
（7）如图所示，已知AD是⊙O的直径，D是BC的中点，AB和AC分别交⊙O于点E和F；EM和FM是⊙O的切线，EM和FM相交于点M，连接DM，求证：DM垂直于BC。