在一场激烈的数学研讨会上，聪明绝顶的学生小明遇到了三个令人费解的问题，
面对一个函数，我们或许能感知其存在并勾勒出大致轮廓，却始终无法精确描绘出来？
面对一个周期性函数，它并非恒定不变，却不存在最小正周期？
面对一个函数，它在任何区间都断断续续且无法求导，导致定积分无从谈起？
这三个问题的答案，你是否了然于胸？
事实上，这三个问题的答案指向同一个函数。深入探索下文关于非凡函数的解析，你将豁然开朗。
数学领域充满了诸多具有独特性质、图像令人惊叹的函数。本文将精选几个典型函数，逐一剖析其奥秘。
一、心形曲线。函数的图像呈现出浪漫的心形，极具象征意义。据传，许多理科生常利用这类曲线向心仪的对象表达爱意。这类曲线的函数表达式或曲线方程存在多种呈现方式。
1、二次曲线型。类似于x^2 –|x|y + y^2 = 4的。可在|x|y前添加一个介于0到2之间的系数，
如x2 –1.3|x|y + y2 = 4，还能调整图形上部的凸度。
当然，还可以进一步变形，将方程转化为更具象的不等式形式，17 x^2 – 16|x|y + 17 y^2 < 225 。不等式所表示的阴影区域即为心形。
值得一提的是，二次函数型的心形曲线，在今年北京高考中成为了一道解析题。这道题目引发了广泛的讨论，具体考题如下图所示，
2、笛卡尔提出的极坐标方程r=a(1-sinθ）。a的取值可以任意选择，最简洁的心形表达式为：r = 1 – sinθ。
流传着一个动人的故事，笛卡尔曾向公主赠送一封包含此方程的信件，公主一眼看穿其中的含义，两人因此产生了师生之情。然而，这段感情最终未能得到国王的认可，结局令人唏嘘。
3、还有一种更为简洁的极坐标表达式，即r=arccos(sinθ)。这可以说是极坐标下最精炼的表达方式，通过反余弦函数与正弦函数的复合实现。函数图像如下：
4、心形图还可以拓展到三维空间中。在三维坐标系下，方程为：(x^2+9y^2/4+z^2-1)^3-x^2z^3-9y^2z^3/80=0。在三维空间中，心形图像更加立体、逼真。
三维坐标系下的曲线方程
二、分手函数。与心形函数相对应，在心形曲线的基础上进行改造，使得心形图像出现裂痕。据说，这可以作为理科生表达分手意愿的象征。曲线方程为：17 x^2 – 16|x|y + 17 y^2 + 150/|5 x + sin(5 y)| < 225。
三、黄金螺旋线，又称斐波那契螺旋线。通过以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的长方形，然后在正方形内绘制一个90度的扇形，将这些弧线连接起来就形成了斐波那契螺旋线。斐波那契数列的递推公式为F（n）n=F（n-1）+F（n-2）。经过数学证明，按照斐波那契数列绘制的曲线，第二个圆的半径与第一个圆的半径之比恰好为黄金分割数，这在艺术领域具有极高的审美价值，因此被称为黄金螺旋线。
黄金螺旋线在现实生活中有着广泛的应用，苹果公司的标志就是一个典型的例子。整个标志完全由黄金螺旋线中的圆构成。
更详细的绘制方法
四、蝴蝶曲线。
极坐标方程为：
参数方程为：
取e约等于2.7，可以得到如下的函数图像：
五、双螺旋曲线。曲线方程和图像，如下图。
六、太极曲线。通过以下方程，可以得出，
七、狄利克雷函数。这个函数正是开篇所提到的那个答案，虽然其图像并不美观，但性质极为独特，而且解析式非常简单，只要掌握实数知识就能理解。当x是有理数时，函数值取1；当x是无理数时，函数值取0。解析式如下图，是一个分段函数。
但是，如果你深入思考，就会发现，无论怎么绘制都无法完全表达其形态，有理数和无理数之间是否存在间隔呢？比如√2的邻域是哪些数字呢？这不禁让人陷入沉思。根据严格的数学定理，该函数在性质上表现为处处间断，处处不可导，无法求定积分，明明感觉知道它的样子，却始终无法精确描绘出来。下图所展示的图像，当然不是准确的，只是基于直观感受的示意。
狄利克雷是数学史上第一位强调概念、并有意识地“以概念代替直觉”的数学家。狄利克雷函数的提出，标志着数学从研究“计算”转向了对“抽象问题”的探索。
美丽的世界，奇妙的函数！