让我们来思考一个有趣的几何挑战：如何仅用两根火柴就将一个著名的直角三角形面积等分成两个相等的部分？
这个问题的答案或许会让你眼前一亮。
在探讨这个谜题之前，我们将转向另一个重要的数学领域：勾股容圆问题的刘徽解法。
中国古代数学的成就令人瞩目。丰富的典籍中蕴含着先贤们的智慧结晶。《九章算术》作为其中的瑰宝，汇集了众多数学家的心血，最终由三国时期北魏的数学家刘徽进行注释，流传至今。
刘徽虽然生平记载不多，但他以卓越的才华在注释《九章算术》时展现了非凡的创见。他的割圆术蕴含了极限思想，为中华民族的智慧史增添了光辉的一笔。
在《九章算术》的勾股篇第十六题中，刘徽提出了一个经典问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容元，径几何？”即已知直角三角形两直角边的长度，求其内切圆的直径。这就是勾股容圆问题的起源。
刘徽首先证明了以下重要公式：
直角三角形内切圆直径公式
其中，a、b、c分别代表直角三角形的两条直角边和斜边，d则表示内切圆的直径。
面积割补法
他采用的证明方法极为巧妙：如图29所示，连接圆心与各切点、圆心与三角形各顶点，将圆的外切直角三角形分割成六个部分，其中包含三组全等的直角三角形。这些三角形可以重新拼组成一个长方形，其长为½(a+b+c)，宽为½d。这个长方形的面积等于½(a+b+c)×½d，而它应该与外切直角三角形的面积½ab相等，即
½(a+b+c) x ½d=½ab
通过简单的代数运算，我们可以解得
证毕
以勾a=8步，股b=15步为例，根据勾股定理计算斜边c=17步，代入上述公式，得到内切圆直径d=6步。刘徽所用的方法被称为面积割补法，这一方法在中国有着悠久的历史。早在汉代赵君卿注释的《周髀算经》中，就已经运用面积割补法证明了勾股定理。
通过前面对勾股容圆问题的学习，我们可以回到最初那个有趣的挑战，找到解决方案。
三角形的内心具有独特的性质，它不仅是内切圆的圆心，还是三条内角平分线的交点。刘徽的勾股容圆解答图构思精巧，为我们解答那个火柴问题提供了重要的启示。
请参考下图，我们可以看到，将勾三股四的直角三角形的数据代入刘徽的公式，可以得知其内切圆半径为1。因此，只需用两根火柴分别代表两条内角平分线，就可以将三角形的面积完美地等分。不仅如此，周长也同样被平分。
再仔细观察刘徽的解答图，我们可能会有新的发现。
六个全等的直角三角形可以重新组合成一个等宽的长方形和正方形，整体构成一个长方形，其一边为x+y+z，另一边为z。
通过利用面积关系来解题，列出面积方程并求解，我们就能推导出勾股容圆的公式。
割补法主要是通过三角形或多边形的全等来实现的。
例1：连接四边形的四边中点所形成的平行四边形面积，恰好等于原四边形面积的一半。
在证明之前，我们先了解一下刘徽的青朱出入图。从下图可以看出，面积割补法是刘徽的拿手好戏。
刘徽运用面积割补法，以盈补虚，构思巧妙，优雅地证明了勾股定理。
现在，让我们来证明例1。
证明：设E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边中点（如图30所示），则EFGH构成一个平行四边形。
连接AC，交EH和FG于Q、P两点，则四边形EFGH被分割为四边形EFPQ和GHQP两部分之和，即Sᴇғɢʜ = Sᴇғᴘǫ + Sᴇғǫᴘ
取AC的中点M，则Sᴇғᴘǫ = △EFM + △MPF + △MQE
∵ MF∥AB, MF=½AB，ME∥BC，ME=½BC,
∴△EFM≌△BEF , △MPF≌△AEQ ,△ MQE≌△CFP.
∴△EFM+△MPF +△МQE =½△АВС，即 Sᴇғᴘǫ=½△АВС.
同理可证 Spǫʜɢ =½△ADC .
∴ Sᴇғɢʜ=½Sᴀʙᴄᴅ
证毕
以上证明请大家仔细体会，细细品味。举一反三，我们还可以得到以下两个推论：
第一，连接三角形三边中点所形成的三角形的面积等于原三角形面积的¼。
以图30为例，△EFM=¼△АВС，因为这两个三角形是相似三角形，相似比为1：2，面积比则是相似比的平方，即1：4。从图形上也能直观地看出这一点，因为平行四边形的对角线将其面积平分。
第二，任意三角形的内接矩形面积最大值为原三角形面积的一半。
如果一个矩形的两个顶点位于三角形的一条边上，而另外两个顶点分别位于三角形的另外两条边上，那么这个矩形就是三角形的内接矩形。
内接矩形的面积可以有多种变化，当矩形的一条边是原三角形的中位线时，矩形面积达到最大值。
通过将割补法与等积移动定理相结合，我们可以解决更广泛的课题。
让我们来证明一个关于定值的定理。
例2：给定一条长度为AB的线段和一条与它平行的直线l。在AB和l上分别取任意点P和Q，从A和B分别作PQ的平行线，交BQ和AQ的延长线于M和N。那么，无论P和Q的位置如何变化，△MPN的面积都是一个定值。
证明：如图31所示，△MPN可以被分割为△MQP、△NQP和△MQN三个部分。
∵ AM∥PQ ,
∴ △MQP=△AQP （根据等积移动定理）.
同理，BN∥PQ ⇒△NQP=△BQP
∴△MQP +△NQP
=△AQP+BQP=△QAB
又∵ AM∥BN, ∴ △MQN =QAВ（蝴蝶模型）.
∵ l∥AB ,∴△QAB 为定值，
∴ △MPN=2△QAB 为定值。
练习二十五
第一题：设M为四边形ABCD对角线AC的中点，过M作BD的平行线交AB于E，交AD于F。则△ADE的面积等于四边形ABCD面积的一半。
第二题：已知AC和BD为定长，且它们的交角为定值，求证四边形ABCD的面积为定值。
第三题：D为△ABC的边AB上的一点，过D作l∥BC。在l上任取一个不落在△ABC内部的点P，则△APB与△APC面积之差的绝对值为定值。
答案详见下图：
学习体会：利用面积关系来解题，面积方法是一种非常有效的解题工具。
证明勾股容圆公式的途径不止一种。在解决了勾股容圆问题之后，我们还可以思考：已知三角形的三边长度，如何求任意三角形的内切圆半径？这些问题暂时留下悬念，待以后再深入探究。