我国现存一部世界级的古代数学经典著作，名为《九章算术》，其书名源于内容包含九章，每章均涉及实际应用问题及其解法。在这本著作中，第六章被命名为”盈不足章”，专门探讨盈亏类问题。”盈”指的是多余，而”不足”则表示不够。
在解决有关盈亏类问题时，通常需要运用比较的方法。
1、定义
当将一定数量的物品按照一定人数进行等分时，如果每人分得的物品数量少于所需，则会出现剩余，这种情况被称为盈；反之，如果每人分得的物品数量多于所需，则会出现短缺，这种情况被称为亏。在盈亏类问题中，通常涉及两种分配方案：一次有余（盈）而另一次不足（亏），或者两次分配均有余，或两次分配均不足。这类问题旨在求解分配的份数或被分配物品的总数量，因此被称为盈亏问题，有时也称作余不足问题。
2、特征
盈亏问题的关键特征在于，被分配物品的总量和分配的组数保持不变。
3、分类
（1）单一盈亏型；
（2）完全盈余型；
（3）完全亏损型。
4、数量关系式
（1）（盈数+亏数）÷两次分配中每份数量的差值=分配的份数；
（2）（大盈数-小盈数）÷两次分配中每份数量的差值=分配的份数；
（3）（大亏数-小亏数）÷两次分配中每份数量的差值=分配的份数。
（4）物品总数量=每份数量×分配的份数+盈余数量
物品总数量=每份数量×分配的份数-亏损数量
5、解题口诀
一盈一亏，将盈数与亏数相加；
全盈全亏，大数减小数；
除以分配差异，即可得到分配的物品或人数。
6、解题策略
首先对两种分配方案进行比较，分析由于分配标准的不同所导致的结果变化，根据这一关系计算出参与分配的总份数，进而根据题意求出物品的总数量。
关键点在于确定物品的总数量和分配的组数。需要特别注意数量差与每份数量之间的对应关系。
（1）单一盈亏型
例1、某幼儿园的教师正在分发玩具球，如果每人分得5个，则剩余3个；如果每人分得7个，则缺少9个。请问：幼儿园有多少名儿童？共有多少个玩具球？
【解析】比较两种分球方法中的各量关系：每人分得5个，剩余3个；每人分得7个，则缺少9个。这两种分法中，每人相差7-5=2个，第一种剩余3个，第二种缺少9个，两次总共相差9+3=12个，每人相差2个，因此总数量相差12个，所以儿童人数为（12÷2）=6人，玩具球总数为6×5+3=33个。
【解答】儿童人数：（9+3）÷（7-5）=6人
玩具球个数：6×5+3=33个
答：幼儿园有6名儿童，共有33个玩具球。
例2、某学校正在为新入学学生安排宿舍，如果每个房间安排10人，则有25人无法入住；如果每个房间安排12人，则仍有3个房间空置。请问：学校共有多少间宿舍？新入学学生共有多少人？
【解析】两种分配方案明确”分什么，剩什么”，因此需要将方案进行转化，转化后的方案为：每个房间安排10人，则多出25人；每个房间安排12人，则少3×12-3=33人。根据单一盈亏型公式，先求出房间总数，再求出学生总数。
【解答】房间数：[25+（3×12-3）]÷（12-10）=29间
学生人数：29×10+25=315人
答：学校共有房间29间，新入学学生共有315人。
（2）完全盈余型
例3、一位母亲购买了一篮苹果，根据计划食用的天数计算，如果每天吃4个，则剩余48个苹果；如果每天吃6个，则剩余8个苹果。请问：母亲购买的苹果有多少个？计划食用多少天？
【解析】题目中提到每天吃4个，剩余48个苹果；每天吃6个，剩余8个苹果。通过观察每天食用的苹果数量与剩余苹果数量的变化，可以看出，当每天食用的苹果数量从4个增加到6个时，即每天多吃6-4=2个，苹果的剩余数量从48个减少到8个，即剩余数量相差48-8=40个。从这个对应的变化中可以看出，只要求40里面包含多少个2，就是所求的计划食用天数。有了计划食用天数，就不难求出苹果的总数量了。
【解答】计划食用苹果的天数：（48-8）÷（6-4）=20天
购买苹果的个数：4×20+48=128个
答：母亲购买了128个苹果，计划食用20天。
例4、使用一根绳子测量井的深度，如果绳子折成两段，则露出井口8米；如果绳子折成三段，则露出井口1米。请问：井的深度是多少米？绳子的总长度是多少米？
【解析】使用绳子测量井的深度，折成两段，可以理解为绳子的长度被分成了两个井的深度，相当于分成了两份，多出16米；折成三段，可以理解为绳子的长度被分成了三个井的深度，相当于分成了三份，多出3米。根据完全盈余型公式求解。
【解答】井的深度：（8×2-3×1）÷（3-2）=13米
绳子的长度：（13+8）×2=42米
答：井的深度是13米，绳子的长度是42米。
（3）完全亏损型
例5、学校新购进一批书籍，准备分发给几位教师，如果每位教师分得10本，则缺少9本；如果每位教师分得9本，则缺少2本。请问：学校共有多少位教师？书籍总共有多少本？
【解析】比较两种分书方案中的各量关系：每位教师分得10本，缺少9本；每位教师分得9本，缺少2本。这两种分法中，每位教师相差10-9=1本，第一种缺少9本，第二种缺少2本，两次总共相差9-2=7本，每位教师相差1本，因此总数量相差7本，所以教师人数为（7÷1）=7人，书籍总数为7×10-9=61本。
【解答】教师人数：（9-2）÷（10-9）=7人
书籍总数：7×10-9=61本
答：学校共有7位教师，书籍总共有61本。
例6、工人们正在铺设一条路基，如果每天铺设260米，则完成路基铺设需要延长8天；如果每天铺设300米，则完成路基铺设仍需要延长4天。请问：这条路基的总长度是多少米？
【解析】如果按照每天260米的速度铺设，到预定日期还差260×8=2080米未完成；如果按照每天300米的速度铺设，到预定日期仍差300×4=1200米未完成。两种铺设方法总共相差2080-1200=880米，每天相差的速度是300-260=40米，实际限定日期是880÷40=22天，有了这个结果路基的全长便容易计算了。
【解答】实际限定铺设日期：（260×8-300×4）÷（300-260）=22天
路基全长：260×（22+8）=7800米
答：这段路基长7800米。