已知梯度和方向，我们可以迅速得知函数在该方向上的斜率。我们至少知道如何描述梯度。对于二维函数，它在平面上表现为一系列指向的箭头。实际上，梯度的向量场有一个特殊且直观的形状：梯度始终向上倾斜，这意味着函数在该点的方向导数沿该方向取得最大值。以下是描绘函数及其梯度的图像以说明这一点。
要理解为何梯度如此表现，考虑等高线地图是一个很好的起点。当你在户外徒步旅行时，参考等高线地图可以帮助你了解地面的高度变化。这些地图展示的是等高线，即恒定海拔的线。这些线之间的间隔可以让你了解地形坡度的大小。
想象一下你站在一个风景如画的地方，周围都是“等高线”，也就是恒定海拔的线。沿着这些等高线行走，你不会上升或下降。因为沿着等高线的方向，高度的变化为零，这意味着沿这个方向的导数为零。从数学角度来说，如果向量v沿着等高线的方向，我们知道梯度和v的点积是方向导数。
当两个向量的点积为零时，它们垂直。这为我们提供了梯度的另一个重要性质：梯度总是垂直于函数的等高线。再想象自己站在一座山上，很容易看出没有倾斜的方向与直接上山或下山的方向是垂直的。这告诉我们梯度向量指向函数增长最大或衰减最大的方向。
要确定它实际上指向增长最大的方向，可以想象自己站在山腰正面朝山顶。你面前的方向上的坡度显然是正的，因为它朝向山顶。假设这个方向由向量u表示，那么在u方向上的方向导数是正的，且是该点在任何方向上的最大导数。这意味着梯度向量与u平行。因为我们选择u作为指向最大增长方向的向量，这也给了我们梯度的另一个性质：在每一处，梯度都指向函数增长最快的方向。我们知道u与梯度平行，梯度的大小就等于这个方向导数的值，也就是该点的最大方向导数。这为我们提供了描述梯度的最后一个几何性质。
下图展示了上述函数的等高线图，叠加了梯度向量场。你可以看到，坡度总是垂直于等高线，指向倾斜向上的方向，而矢量的大小与景观的陡峭程度成正比，就像之前讨论的一样。
