向量数乘是线性代数中的一个基本概念，它指的是将一个向量与一个标量（即一个普通的数）相乘的操作。简单来说，就是给向量乘以一个数，这个操作会改变向量的长度，但不会改变其方向。
具体来说，如果我们将一个向量 \( \mathbf{v} \) 乘以一个正数 \( k \)，那么得到的向量 \( k\mathbf{v} \) 的长度会是 \( \mathbf{v} \) 的长度的 \( k \) 倍。例如，如果 \( \mathbf{v} \) 的长度是 3，那么 \( 2\mathbf{v} \) 的长度就是 6。同样，如果 \( k \) 是负数，那么 \( k\mathbf{v} \) 的长度也是 \( \mathbf{v} \) 的长度的 \( |k| \) 倍，但方向会相反。比如，如果 \( \mathbf{v} \) 的长度是 3，那么 \( -2\mathbf{v} \) 的长度也是 6，但方向与 \( \mathbf{v} \) 相反。
向量数乘还有一个重要的性质，那就是它保持了向量的方向。当 \( k \) 是正数时，\( k\mathbf{v} \) 的方向与 \( \mathbf{v} \) 相同；当 \( k \) 是负数时，\( k\mathbf{v} \) 的方向与 \( \mathbf{v} \) 相反。这个性质在解决许多几何和物理问题时非常有用。
总的来说，向量数乘是一个非常基础但非常重要的操作，它不仅可以改变向量的长度，还可以改变其方向，这在许多数学和科学领域都有广泛的应用。