昨天我们学习了复数及其几何意义，还了解了模和共轭的概念。今天，我们将深入探讨如何在复数这个新的数系中进行基本的加、减、乘、除运算。你会发现，这些运算和我们熟悉的多项式运算有着诸多相似之处！
知识点详解一：复数的加法与减法
复数的加减法非常直观，就像合并同类项一样：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。通俗来说，如果设 z₁ = a + bi，z₂ = c + di (a, b, c, d ∈ R)，那么加法为 z₁ + z₂ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i，减法为 z₁ – z₂ = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i。
复数的加减法还具有几何意义。具体来说，加法符合向量加法的平行四边形法则或三角形法则，而减法对应的向量是从 z₂ 指向 z₁ 的向量。这些运算定律满足复数加法的交换律和结合律。
知识点详解二：复数的乘法
复数的乘法类似于多项式相乘。我们可以把含有 i 的项当作一个特殊字母，展开后合并同类项，并且记住要把 i² 替换成 -1。具体来说，如果设 z₁ = a + bi，z₂ = c + di (a, b, c, d ∈ R)，那么 z₁ z₂ = (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i。
知识点详解三：复数的除法
复数除法稍微复杂一些，因为我们希望分母不带有虚数单位 i。解决的方法是：把分子和分母同时乘以分母的共轭复数，这样分母就变成了一个实数，问题就转化成了复数乘以实数和复数加减法。这个过程叫做“分母实数化”。具体运算规则和关键技巧在此不再赘述。
知识点详解四：复数范围内解一元二次方程
我们知道，实系数一元二次方程在判别式 Δ = b² – 4ac
我们来总结一下复数运算的几何意义：加法符合向量加法的平行四边形/三角形法则，乘法涉及到模的伸缩和向量的旋转等。
现在，让我们来完成几道练习题巩固所学知识：
练习题：
1. 计算：(4 – 7i) – (1 + i) + (-2 + 5i)。
2. 计算：(1 – i)² 和 (1 + i) (1 – 2i)。
3. 计算：i / (1 + i)（结果写成 a+bi 形式）。
4. 在复数范围内解方程 x² – 4x + 13 = 0。
5. 复数 z = 1 + i。计算 z i 并说明它在复平面上对应的向量相对于 z 对应的向量发生了怎样的几何变换。
希望同学们能够认真完成这些练习题，巩固并深化对复数运算的理解！加油！
