在统计分析和建模处理中，我们经常使用最小二乘法进行误差分析。这种方法的核心在于使所有估计值与被估计值之差的平方和达到最小。过去两百年来，最小二乘法的应用广泛如星辰；而在最近的十年里，它在大数据科学和人工智能领域更是大放异彩。许多使用者并不清楚其背后的数学原理。本文旨在帮助读者理解最小二乘法的原理和其应用。
作者：朱慧坚（玉林师范学院数学与统计学院副教授）、丁玖（南密西西比大学数学系教授）
我们经常会遇到这样的问题：根据实验或观测数据寻求某种现象的规律时，这些点并不能被一条直线精确穿过。比如，当我们尝试用一条直线去拟合五个不在同一直线上的点时，我们并不能找到一条完美的直线。这是因为实验数据往往存在误差。
那么，我们能否找到一条“最佳拟合”的直线呢？这条直线应尽可能地接近所有的数据点。这就是最小二乘法要解决的问题。由于这些点并不完全在一条直线上，我们无法直接找到这样的直线。我们需要寻找一种方法来找到这条最佳拟合的直线。
这个方法就是最小二乘法。它通过寻找一个函数，使得该函数与所有观测数据点的差的平方和最小。换句话说，它试图找到一个函数，使得预测值和实际观测值之间的误差最小。当这个误差达到最小时，我们就找到了所谓的“最佳拟合”的直线。
对于一些具有复杂结构的多元函数，找到其最小值点并不容易。尤其是在某些点缺乏偏导数的多元函数中，基于微分概念的数值最优化方法可能并不适用。那么，如何解决这个困难呢？一种简单而有效的方法是引入范数的概念。范数在线性代数中非常有用，它可以帮助我们计算向量的长度或大小，并具有一些重要的性质。通过范数，我们可以将复杂的优化问题转化为更简单的计算问题。
除了范数，我们还可以通过矩阵方法来求解最小二乘问题。矩阵方法是一种常见的方法，借助于矩阵和线性方程组的知识来求解最小二乘问题。通过引入正交投影的概念，我们可以更直观地理解这种方法。正交投影的一个基本性质是：向量被正交投影后长度不会变大。这个性质在最小二乘法中非常重要，因为它帮助我们找到了求解最小二乘问题的关键思路。
历史上的著名数学家如穆尔和彭罗斯等人对最小二乘法的发展做出了重要贡献。他们通过定义广义逆矩阵等概念，为最小二乘问题提供了简洁而漂亮的解公式。这些公式对于解决更一般的最小二乘问题非常有效。除了在线性代数中的应用外，最小二乘法还在其他领域如大数据分析、机器学习等领域有着广泛的应用。尽管许多人已经能够使用与最小二乘法相关的工具和方法，但很少有人真正理解其背后的数学原理。这正是我们写作本文的目的所在：帮助读者理解最小二乘法的原理，并解决其“知其然而不知其所以然”的困惑。我们希望读者在阅读本文后能够对最小二乘法有更深入的理解和认识，并能更好地应用它解决实际问题。
我们通过一个数值例子来帮助读者更好地理解最小二乘法和其应用。我们给出了一个三阶方阵A和三维向量b作为示例，展示了如何使用最小二乘法来求解线性方程组的一个近似解。我们还介绍了法方程的概念，并证明了求解最小二乘问题等价于求解法方程。这个等价关系是最小二乘法理论的核心要素之一，它提供了一种更直接、更简洁的求解方法。我们希望这个例子能够帮助读者更好地理解最小二乘法的原理和应用。
