一、基础轨迹类型
在几何学中，常见的基本轨迹类型主要包括：
（一）线性轨迹
1. 两固定点+等距离条件⇒垂直平分线轨迹
2. 两固定直线+等距离条件⇒两条角平分线轨迹
3. 一固定直线+定长距离⇒平行线轨迹（两条）
（二）圆弧轨迹
4. 一固定点+定长距离⇒圆形轨迹
5. 一固定直线+定角度条件⇒圆弧轨迹
典型例题解析
1. 给定平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0, 0)、A(5, 0)、B(m, 2)、C(m-5, 2)。
（1）探讨是否存在实数m，使得在BC边上总能找到点P，满足∠OPA=90°关系？若存在，确定m的取值范围；若不存在，请给出合理解释。
（2）当∠AOC与∠OAB的角平分线交点Q落在边BC上时，计算m的具体数值。
解析思路：
（1）BC边所在轨迹为平行于x轴且过点(0, 2)的直线段，长度恒为5。P点的轨迹是以OA为直径的圆。两轨迹的交点可确定P点坐标，解得P(1, 2)或(4, 2)。根据BC线段特性，可推导出满足条件的m值范围。
（2）由平行四边形性质可知∠AQO=90°，Q点与（1）中的P点重合，从而简化计算过程。
2. 如图所示，抛物线y=1/3(x-2)^2-4/3与x轴相交于点A。将抛物线下方部分沿x轴对称折叠至上方，形成新图像G。过点B(0, 1)作平行于x轴的直线l，与图像G交点从左至右依次为C、D、E、F。点P为图像G上横坐标为m的任意点，连接PD、PE，求ΔPDE面积不小于1时m的取值范围。
解析思路：
通过计算确定D(1, 1)、E(3, 1)两点坐标。当ΔPDE面积等于1时，点P到直线l的垂直距离为1，即P点位于两条平行线上。当面积大于1时，P点位于这两条平行线外侧。满足条件的m值范围由函数图像G与特定区域的交集决定，包括m=0、m=4、m≤2-√10、m≥2+√10等条件。
3. 在平面直角坐标系中，设二次函数为y=(x+a)(x-a-1)，其中a≠0。已知点P(p, m)和Q(1, n)在函数图像上，且m>n，求p的取值范围。
解析思路：
通过计算确定抛物线对称轴为x=0.5。根据二次函数性质，点离对称轴越远函数值越大。点Q到对称轴距离为0.5，因此点P到对称轴距离需大于0.5。通过图像分析可得p1的取值范围。
二、动点轨迹与最值问题综合分析
（一）逆向思维方法
例1. 如图所示，点A在直线y=-x上移动，点B在x轴上移动，构成矩形ABCD，其中AB=2，AD=1。求OD距离的最大值。
解析方法：
常规思路应先确定D点轨迹，但直接分析较为困难。根据题意，∠AOB=45°或135°，且AB为定长，形成定线对定角的基本图形。因此O点位于以AB为弦的圆弧上。通过变换视角，将矩形与圆弧相对固定，O点成为圆P上的动点，即O点运动轨迹为圆P，从而OD可视为定点D到圆P的路径距离。
如图所示，易知PD距离为1，圆P半径为√2，因此OD最小值为√2-1，最大值为√2+1。
本题也可通过三角形三边关系进行分析，但需先验证AOB三点共圆且OPD可能共线。
当动点较多而定点较少时，可采用逆向思维方法，将运动部分相对静止，固定部分相对运动，使问题简化明了。
（二）关联联动模型
例2. 如图所示，已知点A(3, 0)、C(0, -4)，圆C半径为√5，点P为圆C上任意动点。连接AP，M为AP中点，连接OM，求OM距离的最大值。
解析方法：
本题中O为定点，M为动点。M点随P点运动，且AM:AP=1:2，符合主从联动模型，M点轨迹为以AC中点为圆心、圆C半径一半为半径的圆。
如图所示，转化为定点O到定圆D的最短路径问题，可解得OM最大值为5/2+√5/2，最小值为5/2-√5/2。
此外，也可通过构造OQ=AO条件，使OM=1/2PQ，转化为求PQ最小值的定圆问题，本质相同。
（三）整体视角方法
例3. 已知圆O半径为3，点A、B在圆O上，∠BAC=90°，AB:AC=4:3，求OC距离的最小值。
解析方法：
本题中A、B均为圆O上的动点，完整绘制C点轨迹可能较复杂。通过动态观察可知C点轨迹为封闭圆环。
可采用以下方法解决：
（1）固定点A，使点B在圆O上运动一周，则C点轨迹为B点轨迹绕A点逆时针旋转90°所得，即圆O绕A点逆时针旋转90°形成的轨迹。再使A点运动一周，红色轨迹圆随之绕O点旋转一周，形成完整圆环。
如图所示，转化为求定点O到红色圆环的最短路径问题，内圆半径3√2-3即为OC最小值，外圆半径3√2+3即为最大值。
也可简化为固定A点于某位置，使C点随B点运动一周形成的圆D轨迹，转化为定点O到定圆D的最短路径问题，结果相同。
（2）固定点B，使A点在圆O上运动一周，则C点轨迹为A点轨迹绕B点逆时针旋转90°且放大√2倍所得，即圆O绕A点逆时针旋转90°且放大√2倍的轨迹。此时轨迹圆心D为O点绕B点逆时针旋转90°且放大√2倍的位置。
若将B点也运动一周，绿色轨迹圆随之绕O点旋转一周，形成绿色圆环，与红色圆环完全一致。
（3）采用旋转方法：将ΔACO绕A点顺时针旋转90°得ΔABD，CO转化为BD，且BD在ΔBOD中。由于BO、DO为定值，根据三角形三边关系可得DO-BO≤BD≤DO+BO。通过构造等腰直角三角形ADO，简化问题。
如图所示，本质仍为圆到圆的最短路径问题。DO=3√2，点D在以O为圆心3√2为半径的圆上，点B在以O为圆心3为半径的圆上，BD为两同心圆之间的路径，最小值为3√2-3，最大值为3√2+3。
实际解题时只需考虑其中一点运动即可，如图中红色圆P即可代表整个圆环轨迹。
动点轨迹理解要点：动点与其轨迹的关系如同树木与森林，单个动点运动形成轨迹，多个轨迹组合形成整体。数学与诗歌、哲学有着深刻联系。
变式问题：
已知圆O半径为3，点A、B在圆O上，∠BAC=90°，AB:AC=4:3，求OC距离的最小值。