老黄在积分的世界里已经跋涉了许久，探索了无数复杂的不定积分公式。然而，这一次，他的目标转向了正切或余切函数的正整数次幂的不定积分公式。尽管教材中提供了递推公式，却并未给出公式的完整形态，这激发了老黄进一步研究的决心。
以正切函数的正整数次幂为例，其不定积分递推公式异常简洁，形式如下：
In=1/(n-1) * (tanx)^(n-1) – I_(n-2).
这个递推公式的推导过程也相当直观。通过巧妙地运用恒等式tan^2(x) = sec^2(x) – 1，我们可以从n个tan(x)中选取两个，并将其转化为tan^(n-2)(x) * (sec^2(x) – 1)的形式。随后，将这个表达式拆分为两个不定积分之和：前者通过(sec(x))^2 dx = d(tan(x))进行凑微分，最终得到1/(n-1) * (tan(x))^(n-1)的结果；而后者则直接简化为I_(n-2)。
接下来，我们可以对I_(n-2)应用同样的递推公式，进而得到关于I_(n-4)的公式形式。如此反复推导，直到最终简化为I_3或I_2。在这一过程中，我们会得到两种不同的结果：I_3 = 1/3 * (tan(x))^3 – I_1 = 1/3 * (tan(x))^3 + ln|cos(x)| + C；I_2 = 1/2 * (tan(x))^2 – I_0 = 1/2 * (tan(x))^2 – x + C。
由此可见，在推导公式的最后一步，我们还需要根据n的奇偶性进行区分。这一过程不仅考验着我们的求和计算能力，更对符号的准确把握提出了挑战，稍有不慎就可能出错。
为了深入探究In = ∫(tan(x))^n dx，其中n > 2，老黄绘制了详细的推导过程图示（如图所示）。下面，我们将利用这个公式来解决一个简单的例题：
例1：求∫(tan(x))^9 dx.
对于初学者来说，直接引用公式可能是更便捷的选择。在这个例子中，n = 9为奇数，m = 4，将参数代入公式即可得到结果。当然，我们也可以选择展开求和公式进行验证，结果（如图所示）完全一致，验证了公式的正确性。
接下来，我们将转向余切函数的正整数次幂的不定积分公式探究。
探究2：求Jn = ∫(cot(x))^n dx，其中n > 2.
虽然我们可以利用cot(x) = -tan(x + π/2)将余切问题转化为正切问题进行探究，从而避免重复推导过程。然而，在最终确定公式时，符号的判断仍然是一个挑战。老黄认为，这一切的符号性质背后的原因仍然需要更深入的思考和解释。
同样地，我们将通过一个例题来检验这个公式的正确性：
例2：求∫(cot(x))^8 dx.
在这个例子中，n = 8为偶数，m = 4，我们再次直接将参数代入公式。为了进一步验证结果，老黄选择展开求和公式进行对比（如图所示），结果依然准确无误。
最后，老黄提供了一道综合练习题：
求∫((tan(x))^6 – (cot(x))^7) dx.
这道题目实际上反映了老黄对公式的严谨态度，他希望通过多个例题和练习来彻底验证公式的正确性。幸运的是，在反复检验的过程中，老黄发现并修正了一个潜在的错误。尽管他已经尽力确保了公式的准确性，但在高等数学的领域里，任何微小的疏忽都可能导致结果的偏差。因此，老黄诚挚地邀请大家仔细审视这篇文章，寻找可能存在的错误或不合理之处，并积极参与讨论。当然，这一切的前提是您能够理解文章所阐述的内容。