解析因式分解的十字相乘策略
让我们深入探究以下两个代数表达式的展开过程：
①（x＋p）（x＋q）
＝x＾2＋px＋qx＋pq
＝x＾2＋（p＋q）x＋pq
②（ax＋b）（cx＋d）
＝acx＾2＋adx＋bcx＋bd
＝acx＾2＋（ad＋bc）x＋bd
通过逆向思维，我们可以将这些展开式转化为因式分解的依据。
即①x＾2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q），
②acx＾2＋（ad＋bc）x＋bd
＝（ax＋b）（cx＋d）。
从上述公式中我们可以提炼出以下规律：左侧二次项的系数由两个有理数的乘积构成，常数项同样为两个有理数的乘积，而一次项的系数恰好是这两对有理数交叉相乘后的和。这种系统性的因式分解方法被称为十字交叉相乘法。
实例应用：运用十字相乘法进行因式分解。
①3x＾2－5x＋2；
②m＾2－mn－12n＾2；
③（a＾2＋a）＾2－8（a＾2＋a）＋12。
解：①
基于前述原理：
①
3x＾2－5x＋2＝（3x－2）（x－1）；
②
m＾2－mn－12n＾2
＝（m＋3n）（m－4n）；
③
（a＾2＋a）＾2－8（a＾2＋a）＋12
＝（a＾2＋a－2）（a＾2＋a－6）
＝（a－1）（a＋2）（a－2）（a＋3）。
特别提示：因式分解必须彻底，直至无法继续分解为止。
解析因式分解的配方法
在某些多项式中，当常数项数值较大时，采用配方法进行因式分解往往更为高效。
例1、分解因式：x＾2－100x＋2304。
解：x＾2－100x＋1292
＝x＾2－2×50x＋50＾2－50＾2＋2304
＝（x－50）＾2－196
＝（x－50）＾2－14＾2
＝（x－50＋14）（x－50－14）
＝（x－36）（x－64）。
例2、运用配方法分解因式：
①m＾2－140m＋4875；
②9a＾2－6a－325。
解：
①m＾2－140m＋4875
＝m＾2－2×70m＋70＾2－70＾2＋4875
＝（m－70）＾2－25
＝（m－70）＾2－5＾2
＝（m－70＋5）（m－70－5）
＝（m－65）（m－75）；
②9a＾2－6a－323
＝（3a）＾2－2×3a＋1－1－323
＝（3a－1）＾2－324
＝（3a－1）＾2－18＾2
＝（3a－1＋18）（3a－1－18）
＝（3a＋17）（3a－19）。
配方法特别适用于常数项数值较大的多项式因式分解场景（当常数项数值庞大时，不易直接看出分解路径，常将其转化为两个平方数的差，再利用平方差公式进行分解）。
因此，在具体的多项式因式分解实践中，必须根据实际情况灵活选择最恰当的分解方法，这样才能取得最佳效果。