在探索函数值域的过程中，我们可以运用多种策略，但无论选择哪种方法，都必须首先明确函数的定义域，因为定义域的不同将直接影响值域的形态。
①观察法：这种方法适用于一些基础函数，例如X²≥0，1/x≠0等，通过直接观察函数表达式即可推断出其值域。
②换元法：当函数中含有根式或重复出现的代数式时，换元法可以帮助简化问题。通过引入新的变量，将复杂函数转化为更容易处理的形式。但需要注意的是，换元后必须严格界定新变量的取值范围，否则容易导致错误。换元后的函数通常可以转化为二次函数问题进行求解。
③配方法：对于二次函数类型的问题，配方法是一种常用的技巧。通常情况下，我们需要确定函数在特定区间内的值，这可能会让人感到困扰。关于配方法的更多内容，可以在初高中衔接材料中找到，有兴趣的同学可以进一步研究。
④分离常数法：当分子和分母包含关于x的同次式时，分离常数法可以有效地简化问题。例如，对于函数y=(x+2)/(x-1)，可以将其转化为y=1+3/(x-1)，从而将问题分解为一个常数和一个分子为常数的分式。
⑤单调性法：利用函数的单调性来确定其增减趋势，进而求出值域，是高中数学中常用的方法。
⑥数形结合法：通过绘制函数的图像，直观地观察其取值范围，也是一种有效的方法。
⑦判别式法：对于一些分式函数，如果它们对任意x都成立，那么可以将其转化为二次函数，利用判别式Δ来求解。但需要注意的是，必须确保条件是对任意x都成立。
求下列函数的值域。
1、y=1/(1+x²)
解：由于x属于实数集R，因此x²≥0，x²+1≥1，所以0<1/(1+x²)≤1，因此函数的值域为(0，1]。这里使用了观察法。
另解：设1+x²=t(t≥1)，则y=1/t，由于y=1/t在[1，+∞)上是减函数，所以0<y≤1，因此所求函数的值域为(0，1]。这里使用了单调性法。
2、f(X)=2X+√(1+2X)
解：设1+2X=t²，t≥0，则2X=t²-1，函数转化为y=t²-1+t，
y=t²+t-1=(t+1/2)²-5/4，函数y在[0，+∞)上是增函数，当t=0即X=-1/2时取得最小值-1，因此y≥-1，所以函数的值域为[-1，+∞)。
此题使用了换元法，将问题转化为关于t的二次函数，然后再利用单调性法求解。易错点：①换元后t的取值范围不求出或求错；②转化为二次函数后不管t的范围得到≥-5/4。纠错方法：①只要换元，必须确定新“元”的范围；②二次函数求值域先画出大致图象观察增减，然后得出取值范围。
3、f(X)=√(X²-2X+3)
4、f(x)=√(X²-2X-3)
[分析]这两题非常相似。第3题(X-1)²+2≥2；第4题(X-1)²-4≥-4，但作为二次根式的被开方数，只能是≥0，如果忽略二次根式的意义，就会出错。有学生就求得y≥√-2。
3解：∵X²-2X+3=(X-1)²+2≥2
∴√(X²-2X+3)≥√2
因此函数的值域为[√2，+∞)
4解：∵X²-2X-3=(X-1)²-4
∴√(X²-2X-3)≥0
因此函数的值域为[0，+∞)。
5、f(X)=(X-1)/(4X+2)
6、f(X)=(X²-1)/(X²+1)
7、f(X)=(X²-4X+3)/(2X²-X-1)
8、f(x)=(2X²+4X-7)/(X²+2X+3)
这一组题目都是分式函数，那么求值域的方法有什么不同呢？
[思路探寻]第5、6题根据分子分母的特点，可以采用分离常数法。分离常数法实际上是“换元法”的思想，通过化简使问题变得更容易解决。
5[解析]
f(X)=1/4(4X+2-6)/(4X+2)
=1/4-3/2(4X+2)≠1/4
6[解析]f(X)=(X²-1)/(X²+1)=(X²+1-2)/(X²+1)=1-2/(X²+1)
∵X²+1≥1，∴0<1/(X²+1)≤1
∴-2≤-2/(X²+1)<0
∴-1≤1-2/(X²+1)<1
因此函数的值域为[-1，1)
另解：设X²+1=t(t≥1)，y=1-2/t
∵y=1-2/t在[1，+∞)上单调递增
∴y≥-1，又y<1，∴-1≤y<1
第6题利用函数的单调性极易错求为y≥-1。y=1-2/x是由反比例函数变换而来，结合函数的图象，观察取值范围是最好的方法。
7、定义域为{X丨X≠-1/2且X≠1}
f(x)=(X-1)(X-3)/(2X+1)(X-1)
=(X-3)/(2X+1)=1/2-7/2(2X+1)
≠1/2
由定义域X≠1，当X=1时，
f(X)=(X-3)/(2X+1)=-2/3
因此f(X)≠-2/3
因此函数的值域为(-∞，-2/3)∪(-2/3，1/2)∪(1/2，+∞)
8、解法一：分离变量法。(略)
解法二：判别式法。
函数的定义域为R，
令y=(2X²+4X-7)/(X²+2X+3)
去分母并整理得
(y-2)X²+(2y-4)X+7+3y=0
显然y=2时不成立。当y≠2时，
Δ=4(y-2)²-4(y-2)(7+3y)≥0
(y-2)(2y+9)≤0，-9/2≤y<2。因此函数的值域为{y|-9/2≤y<2}。
运用判别式法一定要确定是一元二次方程才能行。当y≠2时，关于X的一元二次方程有实根，等价于判别式Δ≥0，当y=2时方程不成立。因此y≠2。
函数的定义域和解析式确定后，函数的值域也随之确定。解析式的不同，求值域的方法也有所不同。其中化为二次函数求值域和利用函数的单调性及数形结合法求值域是最常见的方法。需要牢固掌握。
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