如何推导双曲线的渐近线方程？
数学并非高不可攀，一位硕士将带你深入探索。今天，我们将解答一位同学提出的疑问：为何具有相同渐近线的双曲线系可以表示为x²/a² – y²/b² = λ的形式，以及双曲线渐近线方程的推导过程。
详细的推导过程可以在人教选择性必修一的第128页找到，但许多学生可能未曾留意。今天，我们就来详细解析。
双曲线的标准方程可以表示为特定的结构。由于它拥有一条渐近线，我们可以将其表示为一个函数形式，即y = ±√(b²/a² – 1)x。这就是渐近线的定义。
渐近线的含义是什么？当x无限增大时，曲线会无限接近这条直线，但永远不会与之相交。
如何证明这一点？我们可以运用极限的思想。假设x趋向于正无穷，那么内部的减法常数可以忽略不计。此时，y趋向于什么？y趋向于±√(b²/a²)x，即±(b/a)x。因此，当x趋向于正无穷或负无穷时，函数会无限接近于直线±(b/a)x。由此可见，内部的常数在求渐近线时可以忽略。
此外，为什么具有相同渐近线的双曲线系可以表示为x²/a² – y²/b² = λ？λ可以取任意值，因为具有相同渐近线的双曲线，其a和b的比值相同，即它们的渐近线是相同的，只是形状可能不同。
因此，我们可以直接将右侧的常数设为一个待定的系数λ。然后，根据双曲线上的点来计算λ的值。因为右侧的值取什么，实际上都不影响双曲线的渐近线。为什么？因为在取极限时，常数可以忽略不计。
举个例子，假设有一个双曲线，其渐近线为y = ±(1/3)x，并且它经过点(1, 2)。那么，这个双曲线的方程可以如何设定？我们可以设为x²/9 – y² = λ。将点(1, 2)代入，得到1/9 – 4 = λ，即λ = -35/9。然后，将λ代入方程，得到x²/9 – y² = -35/9。这就是一个计算方法，但这个值可能不是最优的。
主要讲解了如何设定具有相同渐近线的双曲线系，以及如何推导双曲线的渐近线方程。但这里使用了一种极限方法，与教材上的推导方法略有不同。今天就到这里。