超几何分布（Hypergeometric Distribution）是一种离散概率分布，用于描述在固定数量的试验次数内，从n个不同元素中选择k个元素的组合数。这种分布广泛应用于统计学、工程学、生物学等领域，特别是在处理分类数据时非常有用。
要掌握超几何分布的判断方法，可以遵循以下三个实用步骤：
1. 理解超几何分布的定义：
– 超几何分布通常定义为：
\[
P(X = k) = \frac{n! (n-k)! (k-1)!}{k! \cdot (n-1)! \cdot (n-k+1)!}
\]
其中，\( n \) 是总样本数，\( k \) 是成功的次数，\( n-k \) 是失败的次数。
2. 确定问题类型：
– 你需要判断问题是否属于超几何分布。这可以通过检查是否满足超几何分布的条件来实现。例如，如果问题涉及到从多个总体中随机抽取样本，并且每个总体的大小都是已知的，那么这个问题很可能就是超几何分布的问题。
3. 应用计算方法：
– 如果确定了问题的类型，接下来需要使用适当的计算方法来求解。对于超几何分布，可以使用以下公式进行计算：
\[
P(X = k) = \frac{n! (n-k)! (k-1)!}{k! \cdot (n-1)! \cdot (n-k+1)!}
\]
这个公式可以帮助你计算出在给定条件下，成功抽取k次的概率。
应用场景
假设你正在研究一个实验，目的是在50名志愿者中随机抽取30名，以确定某种物的效果。在这种情况下，你可以使用超几何分布来计算在30名有效参与者中，随机抽取到特定数量（如10名）的有效参与者的概率。
例子
假设你有50名志愿者，其中40名对某种物有反应，10名没有反应。你想要计算在50名志愿者中随机抽取30名，其中至少有10名有反应的概率。
根据超几何分布的定义，我们可以写出：
\[
P(X = 10) = \frac{50! (40-10)! (10-1)!}{10! \cdot (49-10)! \cdot (50-10+1)!}
\]
简化后得到：
\[
P(X = 10) = \frac{50! \cdot 30! \cdot 9!}{10! \cdot 49! \cdot 60!}
\]
计算这个表达式，你将得到在30名中有反应的志愿者中随机抽取10名的概率。
通过上述步骤，你可以有效地掌握并应用超几何分布来解决概率问题。