1. 幂函数的导数：
– 对于任何实数 $a$ 和 $b$，$(a^n)’ = n \cdot a^{n-1}$
– 例如，$(e^x)’ = e^x$
2. 指数函数的导数：
– $(e^x)’ = e^x$
– 例如，$(e^{ax})’ = ae^{ax}$
3. 对数函数的导数：
– $\ln(x) = \frac{1}{x}$
– 例如，$\left(\ln(x)\right)’ = \frac{1}{x^2}$
4. 三角函数的导数：
– $\sin(x) = \cosh^{-1}(y)$
– $\cos(x) = \sinh^{-1}(y)$
– $\tan(x) = \sech^{-1}(y)$
– $\cot(x) = \csc^{-1}(y)$
– 例如，$\left(\sin(x)\right)’ = \cosh^{-1}(y)$
5. 双曲函数的导数：
– $\sinh^{-1}(y) = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})$
– $\cosh^{-1}(y) = \ln(y – \sqrt{y^2 + 1})$
– $\tanh^{-1}(y) = \ln\left(\frac{y + \sqrt{y^2 + 1}}{y – \sqrt{y^2 + 1}}\right)$
– 例如，$\left(\tanh^{-1}(y)\right)’ = \frac{1}{\ln(y + \sqrt{y^2 + 1})} – \frac{1}{\ln(y – \sqrt{y^2 + 1})}$
6. 复合函数的导数：
– 如果有一个复合函数 $f(g(x))$，那么它的导数是 $f'(g(x)) \cdot g'(x)$。
– 例如，$(f(g(x)))’ = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
7. 链式法则：
– 当一个复合函数由两个或更多个函数相乘时，每个因子的导数都会影响最终结果的导数。
– 例如，如果 $u(x) = v(g(x))$，那么 $u'(x) = v'(g(x)) \cdot g'(x)$。
8. 隐函数的导数：
– 如果有一个隐函数 $y = f(x)$，那么它的导数是 $f'(x)$。
– 例如，$\frac{dy}{dx} = f'(x)$
9. 参数方程的导数：
– 如果有一个参数方程 $x = x(t)$，其中 $t$ 是自变量，那么 $x'(t) = \frac{dx}{dt}$。
– 例如，$\frac{dx}{dt} = \frac{dx}{dt}$
10. 积分的导数：
– 如果有一个积分 $\int f(x) \, dx$，那么它的导数是 $\frac{df}{dx}$。
– 例如，$\frac{d}{dx}\left(\int f(x) \, dx\right) = f(x)$
通过熟练掌握这些导数公式，你可以快速地解决各种类型的函数求导问题。在实际应用中，通常需要结合具体的问题情境来选择合适的公式进行计算。理解导数的基本概念（如极限、连续性、可导性等）也是非常重要的。