以函数 \( y = \ln x \) 为例，探讨其导数在切线和法线方程中的应用。首先，计算 \( y = \ln x \) 的导数：
\[ y’ = \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} \]
假设我们需要在点 \( (x_0, \ln x_0) \) 处求切线和法线方程。切线的斜率 \( m \) 即为该点处的导数值，即 \( m = \frac{1}{x_0} \)。利用点斜式方程，切线方程为：
\[ y – \ln x_0 = \frac{1}{x_0} (x – x_0) \]
化简后得到：
\[ y = \frac{1}{x_0} x + \ln x_0 – 1 \]
法线的斜率为切线斜率的负倒数，即 \( m_{\text{normal}} = -x_0 \)。同样利用点斜式方程，法线方程为：
\[ y – \ln x_0 = -x_0 (x – x_0) \]
化简后得到：
\[ y = -x_0 x + 2x_0 \ln x_0 \]
通过这个案例，我们可以看到导数在几何上的直观应用，不仅简化了切线和法线方程的求解过程，也帮助我们理解了函数图像在特定点的局部性质。这种应用在物理学、工程学等领域中同样重要，例如在优化问题中，切线的斜率可以表示变化率，法线则可用于求解平衡点。