《关于函数y=lnx+x+4特定点切线及性质的深度探讨》
一、探究切线方程
给定函数y=lnx+x+4，我们首先需要求其导数来得到斜率。经过计算，我们得到dy/dx = 1/x + 1。题目告诉我们切线的斜率为2，因此设置dy/dx = 2并求解，得到x=1。将x=1带入原函数得到y值，确定切点坐标。利用点斜式方程，我们可以得到切线的方程。
二、法线方程的求解
已知切线的斜率为k1=2，那么法线的斜率k2为-1/k1=-1/2。利用法线斜率和切点坐标，我们可以推导出法线的方程。
三、函数的单调性分析
由于dy/dx = 1/x + 1，且函数y=lnx+x+4的定义域为x>0，我们可以分析出该函数在其定义域内的单调性。导数在此区间内始终大于0，说明函数是增函数，增区间为(0,+∞)。
四、函数的凸凹性探讨
为了进一步了解函数的特性，我们对x进行二次求导，得到d^2y/dx^2 = -1/x^2。由于-1/x^2始终小于0，我们可以确定函数y=lnx+x+4在其定义域内是凸函数，凸区间为(0,+∞)。
通过对函数y=lnx+x+4的深入分析和探讨，我们得到了其在特定点处的切线方程、法线方程，以及函数的单调性和凸凹性等信息。
