高斯积分，又称高斯求积，是一种在数学和物理学中广泛应用的积分方法。它基于高斯函数的性质，即高斯函数在无穷区间上的积分为1。这一特性使得高斯积分在概率论和统计学中尤为重要，因为它与正态分布（也称为高斯分布）密切相关。
二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立重复试验中，成功次数为k的概率。其概率质量函数为：
P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)
其中，C(n,k)是组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，p是每次试验成功的概率。
在探索与应用中，高斯积分与二项分布概率密度函数的关系主要体现在正态分布对二项分布的近似上。当n较大且p不接近0或1时，二项分布可以用正态分布来近似。此时，二项分布的均值μ=np，方差σ^2=np(1-p)，正态分布的累积分布函数可以用来近似二项分布的累积概率。
高斯积分在这一过程中起到了关键作用。通过高斯积分，我们可以计算正态分布下的概率，进而近似二项分布的概率。这种方法在统计学、金融学、物理学等领域有着广泛的应用，如统计推断、风险分析、量子力学等。