在量子力学的早期发展中，海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学两者看起来有着明显的差异，一个侧重于离散矩阵和代数运算，另一个则侧重于连续波函数和微分方程。狄拉克通过其深刻的数学洞察力，揭示了这两种理论的本质上的统一。本文将通过动量本征方程的推导，详细论证这两种力学形式的等价性，并阐明其转换自如的关键机制。
一、动量本征方程的数学根源及两种力学的统一
1.矩阵力学的基础与正则对易关系
矩阵力学建立在正则对易关系的基础上，这一关系直接继承自经典泊松括号的量子化规则。动量算符的定义并非随意假设，而是由正则变量的必然要求所决定的。
2.动量本征方程的推导及其物理意义
在波动力学中，动量算符需满足本征方程，这一方程的物理意义在于描述空间平移的生成元。通过深入研究，我们发现动量算符在位置表象中必须为微分形式。这一结论是通过对比两种力学形式，以及利用态矢量的内积性质推导得出的。动量本征态的不可归一化反映了其理想化特性，实际物理态需要通过波包叠加来描述。
二、从矩阵力学到波动力的过渡：表象变换与傅里叶分析
1.态矢量的统一表示
矩阵力学中的态矢量可以投影到位置或动量表象，这为两种力学形式的转换提供了基础。
2.算符的表象转换及核心公式
位置算符和动量算符在不同的表象中有不同的表现形式，但它们的本质是对偶的。这一对偶性通过傅里叶变换相联系。
三、矩阵力学与波动力学的等价性及其在运动方程中的体现
1.海森堡方程与薛定谔方程的基本形式
我们分别介绍了海森堡方程和薛定谔方程的基本形式，这两种方程分别代表了矩阵力学和波动力学对量子运动规律的描述。
2.两种绘景（海森堡绘景和薛定谔绘景）的转换关系
两种绘景通过时间演化算符相联系。时间演化算符是连接海森堡绘景的静态算符和薛定谔绘景的动态态的桥梁。
3.从海森堡方程导出薛定谔方程的过程
我们在位置表象中，通过海森堡方程推导出波函数的薛定谔方程，从而证明了两种力学形式的等价性。
四、动量算符的厄米性质及其对概率解释的重要性
动量算符是厄米算符，这一点在量子力学的概率解释中至关重要。厄米算符的矩阵元满足一定的对称性，这种对称性保证了概率幅的合理性。实验验证了两种理论的一致性，进一步支持了量子力学的概率解释。
五、狄拉克的贡献及量子力学的统一图景
狄拉克的贡献不仅在于证明了矩阵力学与波动力的等价性，更在于构建了量子力学的普适数学框架。这一框架通过符号抽象、表象变换与物理不变性，统一了离散与连续、代数与分析的描述方式。这一框架的物理直观与数学严谨性使其具有强大的威力，为量子场论、相对论量子力学奠定了基础。它也为实验与理论之间建立了桥梁，使得量子力学的应用更加广泛和深入。量子力学从此成为一个多面统一的数学物理体系，其内在一致性至今仍是现代物理学的基石。
