提要：无理数可以通过连分数进行表达，但传统的表达方式过于繁复。本文旨在提供一种程序化的求法，简化无理数的连分数表示，并引入渐近分数来表达无理数的近似值。
拉马努金恒等式向我们展示了一个有趣的现象：有理数可以用无理数来表示。那么，反过来，无理数是否也可以用有理数来表示呢？历史上，众多数学家如欧拉和高斯对此进行了深入研究，并给出了肯定的答案，即无理数可以通过连分数来表示。
以√5为例，其连分数的表示形式为：[2, 4, 4, 4…]。这里，整数部分为2，而小数部分通过一系列的倒数操作进行表示。这种方法虽然漂亮，但存在着篇幅大、书写繁琐的缺点。我们通常使用中括号简记，如√5=[2, 4]，其中4表示循环节。
对于其他无理数如√7，其连分数的表示过程类似。我们需要不断地对分部的倒数进行分离和计算，直到出现循环为止。这个过程可以形式化表示为：√n=[z1, z2, …, zi, …, zn]。按照这个过程，我们可以将其他无理数如√13、√101等化为连分数。这个过程可以通过几何画板等工具进行验证。值得注意的是，每一个连分数的表达形式都有其独特的循环结构。我们可以把这个过程看成是一个逼近无理数的过程。为了表达无理数的这种趋势我们引入了渐近分数这一概念它代表着有理数逐渐逼近无理数的趋势因此渐近分数可以用来表示无理数的近似值。比如√3的前五个渐近分数展示了它逐渐逼近真实值的过程。同样的道理我们也可以为其他无理数如找到其渐近分数形式来表达其近似值。历史上德国数学家兰伯特证明了是无理数也就意味着可以用连分数来表示。其中计算过程相对复杂此处略过详情通过引入渐近分数的概念我们实际上提供了一种简洁的方式来近似表示无理数的值这在实践中非常有用比如用于科学计算等领域总的来说拉马努金恒等式展示了有理数与无理数之间的辩证关系以及如何用连分数和渐近分数来巧妙地表示无理数这些内容为数学带来了更多美丽与深刻的洞见。通过连分数的分离和求倒数的主要步骤我们可以简洁地表示无理数的连分数形式而渐近分数则为我们提供了一种近似表示无理数值的有用工具。
