计算向量的模长确实可以不依赖于具体的坐标表示，而采用更直观和简洁的方法。向量的模长，也称为向量的长度或范数，实际上就是从向量起点到终点的距离。在几何上，这一点非常直观：无论向量的方向如何，其模长只与起点和终点的位置有关。
我们可以通过勾股定理来理解这一点。对于二维空间中的向量 \(\vec{v} = (a, b)\)，其模长 \(|\vec{v}|\) 可以通过计算直角三角形的斜边长度来得到，即 \(|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}\)。这个公式虽然依赖于坐标，但其本质是几何上的距离计算。
然而，如果我们考虑更高维度的向量，比如三维向量 \(\vec{v} = (a, b, c)\)，其模长依然是起点到终点的距离，可以通过类似的方法计算，即 \(|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)。这个公式同样体现了向量的模长是其各分量平方和的平方根这一特性。
更进一步，这种计算方法可以推广到任意维度的向量。对于n维向量 \(\vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\)，其模长为 \(|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}\)。这种计算方式不依赖于具体的坐标表示，而是基于向量在空间中的几何意义。
因此，计算向量的模长可以不依赖于具体的坐标，而是通过几何上的距离概念来理解。这种方法不仅简洁，而且具有普适性，适用于任意维度的向量。