要计算矩阵A的逆矩阵，首先需要确定矩阵A是否可逆。一个矩阵可逆的条件是它的行列式不为零。假设矩阵A是一个n阶方阵，我们可以按照以下步骤来计算它的逆矩阵。
1. 计算行列式：首先计算矩阵A的行列式det(A)。如果det(A)等于零，那么矩阵A不可逆，也就没有逆矩阵。
2. 计算伴随矩阵：如果矩阵A可逆，接下来计算矩阵A的伴随矩阵（也称为伴随矩阵或伴随矩阵）。伴随矩阵是由矩阵A的代数余子式组成的矩阵的转置。对于矩阵A中的每一个元素a_ij，我们需要计算它的代数余子式C_ij，然后将这些代数余子式组成一个新的矩阵，再取转置，得到伴随矩阵A伴随。
3. 计算逆矩阵：有了伴随矩阵之后，矩阵A的逆矩阵A^-1可以通过以下公式计算：
A^-1 = (1/det(A)) A伴随
4. 验证逆矩阵：为了确保计算的正确性，可以验证A A^-1是否等于单位矩阵I。如果等式成立，那么A^-1就是A的正确逆矩阵。
现在，假设我们已经按照上述步骤计算出了矩阵A的逆矩阵A^-1，那么A^-1的每个元素就是矩阵A相应位置的元素的逆元素。在矩阵运算中，我们通常不单独谈论“反元素”，而是谈论整个矩阵的逆。因此，A^-1就是A的反矩阵。
需要注意的是，矩阵的逆矩阵在某些情况下可能不存在，例如当矩阵不可逆时（即行列式为零）。此外，即使矩阵可逆，逆矩阵的计算也可能相当复杂，尤其是对于大型矩阵。在实际应用中，我们通常会使用数值计算软件或编程语言中的矩阵运算库来帮助我们计算逆矩阵。