平抛运动是物体在水平初速度和重力作用下的运动，其轨迹是一条抛物线。要理解平抛运动的轨迹方程，首先需要知道两个基本公式：水平方向的运动公式和竖直方向的运动公式。
在水平方向，由于没有受到任何力的作用，物体将保持匀速直线运动。因此，水平方向的位移 \( x \) 可以用以下公式表示：
\[ x = v_0 t \]
其中，\( v_0 \) 是水平初速度，\( t \) 是时间。
在竖直方向，物体受到重力的作用，做自由落体运动。因此，竖直方向的位移 \( y \) 可以用以下公式表示：
\[ y = \frac{1}{2} g t^2 \]
其中，\( g \) 是重力加速度，通常取 \( 9.8 \, \text{m/s}^2 \)。
为了得到轨迹方程，我们需要消去时间 \( t \)。从水平方向的运动公式中，我们可以解出时间 \( t \)：
\[ t = \frac{x}{v_0} \]
将这个表达式代入竖直方向的运动公式中，得到：
\[ y = \frac{1}{2} g \left( \frac{x}{v_0} \right)^2 \]
简化后，得到平抛运动的轨迹方程：
\[ y = \frac{g}{2 v_0^2} x^2 \]
这个方程是一个二次函数，表示物体的运动轨迹是一条抛物线。其中，\(\frac{g}{2 v_0^2}\) 是抛物线的二次项系数，决定了抛物线的开口方向和形状。
通过这个轨迹方程，我们可以很容易地计算出在任意水平位移 \( x \) 下的竖直高度 \( y \)，或者反过来，计算出在任意竖直高度 \( y \) 下的水平位移 \( x \)。这使得我们能够更好地理解和描述平抛运动。