如何求解二次函数的解析式
对于二次函数y=ax+bx+c，如果我们不知道它的具体表达式，但知道它通过的三个点，我们可以采用待定系数法来确定它的表达式。
【示例】已知二次函数y=ax+bx+c经过三个点：x=1时，y=0；x=2时，y=5；x=3时，y=12。我们要求出a、b、c的值。
解：将这三个点的坐标代入y=ax+bx+c，得到如下方程组：
解此方程组，得到a=1，b=2，c=-3。这个二次函数的解析式为y=x+2x-3。
除了待定系数法，是否还有其他方法求解呢？答案是肯定的。
(一)
假设我们需要找一个函数y=f(x)，使其在某些特定点的函数值已知。为解决这一问题，我们可以先从一个简单情况出发：求一个函数y=f₁(x)，使得f₁(x₁)=y₁，f₁(x₂)=0，f₁(x₃)=0。由于x₂和x₃是方程f₁(x)=0的根，因此f₁(x)必然包含因子(x-x₂)和(x-x₃)，即f₁(x)=A(x-x₂)(x-x₃)。然后我们可以根据f₁(x₁)=y₁求出A的值。按照这种方法，我们可以求得其他的函数y=f₂(x)、y=f₃(x)，然后将它们相加得到所求的函数y=f(x)。这种方法被称为拉格朗日插值公式。
(二)
根据图像上的已知点，我们可以确定二次函数的解析表达式。如果使用待定系数法来确定a、b、c的值，似乎需要三个条件。但实际上，如果我们知道某些特殊点，比如极值点（也就是二次函数的顶点），那么我们只需要知道另一个点就可以确定这个二次函数的表达式。因为任何二次函数都可以通过配方表示为y=p(x-q)+r的形式，其中(q,r)就是二次函数的顶点。给出了顶点就等于给出了q和r，这时只需要利用另一个已知条件来确定a。
【例】已知一个抛物拱桥的高度和跨度已知，我们如何确定这个拱桥的曲线方程？假设抛物线拱桥的矢高等于h，跨度等于2l。在坐标系中，我们知道顶点为(0,h)，以及另一点(l,0)。通过代入二次函数y=p(x-q)+r的形式，我们可以求得这个二次函数的表达式。其中已知q=0和r=h，代入得到一系列方程解出二次函数的具体形式。
关于二次函数的问题形式多种多样，需要根据题目给出的条件灵活运用。例如如果二次函数的图像与x轴相切或者顶点在y轴上等特殊情况都有其特定的解决方案。在学习时要注意灵活理解和应用这些知识。为了更好地帮助大家预习和复习二次函数的相关知识，我制作了一张图表供大家参考学习。感谢大家的阅读和支持！
