我们来谈谈拓扑群的基本定义。拓扑群是一个结合了拓扑空间和群结构的神奇概念。具体来说，当我们将一个群作为拓扑空间处理时，该群必须符合一定的条件。这些条件包括：该群必须是Hausdorff空间，并且群的乘积和求逆映射必须是连续的。换句话说，我们可以在群上定义一个拓扑结构，使得群的运算（如乘法与求逆）在拓扑上是连续的。这就是拓扑群的核心思想。
关于拓扑群的经典例子，实数轴R作为一个拓扑群，其群结构就是实数的加法。那些原本没有拓扑结构的抽象群也可以赋予离散拓扑，从而成为拓扑群。由此可见，拓扑群的概念非常广泛且具有重要性。
接下来，我们要讨论一个关于拓扑群的定理。假设G是一个拓扑群，K是G的含有单位元素的连通分支。我们需要证明K是G的闭正规子群。这个证明过程可以分成几个部分：首先证明K是闭集；然后证明K是子群；最后证明K是正规的。其中，证明K是闭集是非常直观的，因为连通分支总是闭集。至于证明K是子群和正规的，我们需要利用连续映射的性质以及群的结构特性。这里不再赘述具体的证明过程。
学过线性代数的朋友都知道，由可逆的n×n实矩阵构成的一般线性群GL(n)是一个重要的例子。我们可以给GL(n)赋予拓扑结构，将其视为n^2维欧氏空间的一个子集。要证明GL(n)是拓扑群，我们需要验证它是一个Hausdorff空间，并且群的乘积和求逆映射都是连续的。事实上，n^2维欧氏空间是一个Hausdorff空间，所以GL(n)自然也是。接下来，我们可以通过矩阵乘法公式和逆矩阵公式来证明群的乘积和求逆映射是连续的。这里涉及到的矩阵运算和实数映射的连续性是关键。
需要注意的是，GL(n)并不紧致也不连通。这是因为GL(n)的子集是紧致的当且仅当它是有界闭集，而GL(n)并不满足这一条件。GL(n)的闭包是包含所有实矩阵的集合M，而GL(n)自身是由行列式不为0的矩阵组成的，具有两个连通分支：一个包含行列式大于0的矩阵，另一个包含行列式小于0的矩阵。
拓扑群是一个融合了拓扑学和群论的有趣概念。通过对拓扑群的研究，我们可以更好地理解同胚和同构的性质，以及它们在数学领域的应用。希望这篇文章能够帮助你更好地理解拓扑群的相关知识和性质。
