散度和旋度是向量场的两种重要度量，它们在众多领域的应用中发挥着至关重要的作用。为了更好地理解这两者，我们可以将向量场比作液态或气态的流动，其中每个向量都可以被看作是一个速度向量。
当我们谈论倒三角符号时，假设存在一个依赖于三个变量的函数，例如房间内的温度T(x, y, z)。为了将“导数”的概念推广至此类函数，我们引入了梯度、散度和旋度的概念，它们分别由哈密顿算子（nabla operator）作用得出。
哈密顿算子是一个作用于标量函数的向量算子。其表现形式为一个括号内的项，被称为倒三角算子。值得注意的是，哈密顿算子并不只是一个与函数T相乘的向量。
标量函数的梯度具有独特的物理含义。它作用于标量函数并产生一个向量函数。梯度的方向总是指向标量函数中变化最大的方向，并且它垂直于一个定值曲面。这一特性在决定向量场的方向方面非常重要。
关于哈密顿算子的作用方式有三种主要情形：
对于标量函数T，我们谈论其梯度；
对于向量函数v(x,y,z)，我们考虑其散度，这是通过点积得出的；
对于同样的向量函数v(x,y,z)，我们得到其旋度，这是通过叉乘计算得出的。
接下来我们谈谈散度。从哈密顿算子的定义出发，散度描述的是向量函数v在一个点散开的度量值。散度的名字恰如其分，因为（倒三角）v确实表示向量v从一点散开的程度。我们可以通过图1中的示例来更好地理解这一概念。
在图1的示例中，（a）中的函数具有较大的散度，（b）中的函数散度为零，而（c）中的函数也具有正的散度。为了更好地理解这一概念，可以想象站在池塘边，在水面上撒些木屑。如果木屑散开，那么你就处于正散度的点；如果木屑在一起，则你处于负散度的点。在这个模型中，矢量函数v代表水的速度，这是一个二维的示例。
接下来我们讨论旋度。根据哈密顿算子的定义，旋度描述的是向量函数v围绕一个点旋转的度量。图1中的三个函数旋度为零，而图2中的函数则具有较大的旋度，指向z方向（根据右手自然法则）。同样地，可以通过池塘中的小纸船来理解旋度的概念。如果纸船开始旋转，那么它就被放在了具有非零旋度的点上。漩涡是一个旋度特别大的区域。
总结一下，通过梯度、散度和旋度的概念，我们可以深入了解和探究向量场的特性。这些概念在物理学、工程学和其他许多领域都有着广泛的应用。
