矩阵变换中,我们之所以通常只讨论行变换(行简化或行操作),是因为行变换主要用于解决线性方程组、求矩阵的秩、计算逆矩阵等问题,这些应用场景主要关注矩阵的行空间和行之间的关系。行变换不改变矩阵的行空间,因此可以保留原始矩阵的某些重要性质,如解的集合、线性相关性等。
具体来说,行变换包括以下三种操作:
1. 交换两行的位置。
2. 将某一行的所有元素乘以一个非零常数。
3. 将某一行的若干倍加到另一行上。
这些操作都不会改变矩阵的行秩,也就是说,行变换后的矩阵与原矩阵有相同的行秩,从而保持了方程组的解的结构。
相比之下,列变换虽然也能在某些情况下使用(例如在计算矩阵的列空间或进行QR分解时),但它们会改变矩阵的列向量之间的关系,从而可能改变矩阵的秩或其他重要性质。因此,在大多数情况下,我们更倾向于使用行变换来研究矩阵的性质和解决相关问题。
总之,行变换之所以在矩阵理论中占据重要地位,是因为它们能够保持矩阵的行空间和行之间的关系,从而在解决线性代数问题时更加实用和有效。