在三角形的几何结构中，线段——角平分线、中线和垂线，都起着至关重要的作用。在接下来的课程中，我们将逐一深入探索这些线段的相关知识，并进行全面的梳理和。
三角形的角平分线
1. 定义：三角形内部某个角的平分线与该角所对边相交的点，以及这个角所在顶点之间的线段。值得注意的是，三角形的内角平分线是一条明确的线段，它既不是直线，也不是射线，而三角形的外角平分线则表现为一条射线。
2. 三角形内角平分线定理：
图1
(1) 性质定理1：在三角形的角平分线意一点到该角两边的距离是相等的，即DE=DF。此定理的逆定理（三角形角平分线判定定理1）同样成立：如果一点到三角形某个角的两边的距离相等，那么这一点必定位于该角的平分线上。
(2) 性质定理2：在三角形中，任意一个角的角平分线与对边所形成的两条线段，和该角的两边成正比，即AB:AC=BD:DC。此定理的逆定理（三角形角平分线判定定理2）同样成立：如果三角形某边上的一个点与该边所形成的两条线段和该边的对角两边成正比，那么该点与对角顶点之间的线段就是三角形的一条角平分线。
(3) 三角形内角平分线长公式（斯库顿定理）：AD²=AB.AC-BD.CD，其记忆口诀为：角平分线长的平方等于上积减下积，这一知识点在实际应用中非常关键。
3. 三角形外角平分线定理：
图2
(1) 性质定理1（图2）：三角形的外角平分线上的点到外角两边的距离是相等的，即EF=EG，其逆定理同样成立。
(2) 性质定理2：AB:AC=BE:CE（这一性质可以通过比较△ABE和△ACE的面积比来推导）。
4. 三角形角平分线相关的特殊角度模型：
图3
三角形两内角的角等分线夹角模型（图3）：∠On=180º/n+(n-1)/n∠A（n为等分次数，当n=2时，即为双内模型）。
图4
三角形两外角的角等分线夹角模型（图4）：∠P=180º/n-(n-1)/n∠A。
八字形双内、内外及飞镖双角平分线模型：
图5
八字双内、内外双角平分线模型：∠E=½(∠B+∠D)；∠E=90º+½(∠B+∠D)。（双内的，可以放在ABCE和AECD两个八字中，利用一个对顶角相等，结合内角和定理即可证明。内外型的，可以作∠OCD的角平分线，与AE相交，转化为双内模型，再利用同一个角的内外角平分线垂直，即可证明）。
飞镖双角平分线：∠E=½|∠A-∠C|（在ABCD和EBCD这两个飞镖中，利用飞镖模型列出两个式子，再将角平分线分割的相等的角整体消元，即可证明）。