格点作图作为中考阶段备受关注的新题型，自从被纳入中考试卷以来，已经在初中各年级的考核中广泛普及，并且呈现出逐年提升难度的态势。通过借鉴尺规作图的基本方法，我对格点作图进行了深入研究，现将一些心得体会分享给大家。
在深入探讨格点作图的具体方法之前，我们必须明确一个基本认知，就像尺规作图存在其固有的局限性一样，例如著名的尺规作图三大难题，格点作图同样面临着诸多限制。那么，格点作图究竟能够解决哪些问题？它的局限性又体现在哪些方面？这正是我们接下来需要探讨的核心内容。
当初次接触格点作图时，大家首先会联想到什么？
许多学生会回答说，想到了平面直角坐标系。但实际上，格点作图与平面直角坐标系是两种截然不同的概念。 格点作图的网格呈现“稀疏”状态，而平面直角坐标系的网格则是“稠密”的。如果我们尝试将格点作图的网格视为一种坐标系，那么借助无刻度直尺，我们只能在所谓的“格点坐标系”中绘制出横纵坐标均为有理数的点，而在平面直角坐标系中，我们却能够绘制出横纵坐标为任意实数的点。
通过对比平面直角坐标系，我们可以更加清晰地认识到格点作图的局限性，即它只能处理特定类型的问题。
为了更直观地展示格点作图的应用范围和局限性，我并不打算通过具体的题目进行说明，而是希望通过更抽象的角度来阐述格点作图能够解决哪些问题。
在展开说明之前，我们先定义几个关键概念。
- 有理线段：将单个网格的长度设定为1单位，如果一条线段的长度是有理数，那么我们将其称为有理线段。
- 有理角：当某个角的正切值是有理数时，我们称这个角为有理角。
- 有理角度：有理角对应的角度值即为有理角度。
- 倾斜角：在网格图中，直线向上的方向与右侧水平网格线所形成的夹角被称为倾斜角。
- 有理直线：如果一条直线的倾斜角是有理角，那么这条直线就被称为有理直线。
- 二阶有理角：角度本身是有理角，并且其半角也是有理角。
- 有理网格线：指距离格点水平距离为有理长度的，并且与网格线水平或垂直的直线。
从线段和角度的角度来看
- 格点作图能够绘制出水平或竖直方向上任意有理线段
- 格点作图能够绘制出任意有理角
从三大几何变换的角度来看
- 平移：格点作图可以对任意点进行水平或竖直方向上任意有理长度的平移
- 对称：格点作图可以对任意点进行关于任意有理直线的对称操作
- 旋转：格点作图可以对任意点进行任意二阶有理角的旋转操作
通过上述总结，我们可以轻松识别出哪些问题是无法使用格点作图来解决的。在此，我们举几个简单的例子，比如绘制一个60度的角，或者绘制水平或竖直方向上长度为根号5的线段。
- 在水平或竖直方向上绘制任意有理长度
图1中，橙色线段的长度为三分之一；图2中，橙色线段的长度为四分之三。
竖直方向上绘制有理长度的方法与水平方向类似，这里不再赘述。
诀窍：利用相似和比例线段的相关知识，综合运用“型相似”或“型相似”的方法。
- 任意点关于任意有理网格线的对称点
上图展示了如何作出点关于绿色有理网格线的对称点A’。
竖直方向上的有理网格线作法与水平方向相同，这里不再详细说明。
诀窍：两线相交可以确定一个点，因此我们可以通过作直线关于网格线的对称来确定对称点。而直线的对称可以通过特殊点关于网格线的对称来表示。
- 任意点关于任意有理网格线的垂线或平行线
上图展示了如何作出点关于绿色有理网格线的垂线AA’。
过点作绿色网格线平行线的方法与垂线作法相同，这里不再详细说明。
诀窍：对称点相连即可得到平行线或垂线。
- 任意二阶有理角的角平分线
上图展示了如何作出有理角∠ABC的角平分线。
诀窍：观察可知$\tan \angle ABC=\frac{3}{4}$，根据正切函数的二倍角公式，我们可以得到$\tan \angle CBD=\frac{1}{3}$。
- 平移：任意点进行水平或竖直方向上任意有理长度的平移
上图展示了如何将点向右平移1个单位长度的点A’。
竖直方向上的平移方法与水平方向相同，这里不再详细说明。
诀窍：两线相交可以确定一个点。根据前面的方法，我们可以作出过点的平行线，同时结合过点的蓝色直线平移，就可以得到A’。蓝色直线的平移可以转化为特殊点的平移。
- 任意线段取任意有理等分点
上图展示了如何将任意线段进行三等分。
诀窍：根据前面的方法，我们可以作出任意点关于任意有理长度在水平或竖直方向上的平移，因此可以通过构建型相似来取线段的三等分点。点向下平移1个单位长度变成A’，点向上平移两个单位长度变成B’。
- 对称：任意点进行关于任意有理直线的对称操作
上图展示了如何作出点关于绿色有理直线(倾斜角正切值为2)的对称点A’。
其他有理直线的作法与绿色直线相同，这里不再详细说明。
诀窍：两线相交可以确定一个点。找到两个特殊的网格点，先作出它们关于绿色有理直线的对称点，然后分别作出这两个特殊点与目标点的连线，通过这两条连线的对称，就可以找到目标点的对称点。
- 旋转：任意点进行任意二阶有理角的旋转操作
上图展示了如何将点绕点逆时针旋转α，且α=∠COD。
诀窍：首先作出∠COD的角平分线，然后作出关于该直线的对称点，紧接着作出关于该对称点的对称点A’。