垂径定理的逆定理,用简单易懂的方式讲解这个定理的证明过程和实际应用

1、圆周角定理

谈及垂径定理，我们首先会联想到圆的相关知识。

即便对垂径定理不甚了解，同学们也一定对其有所耳闻。

实际上，在垂径定理之前，还有一个我们同样熟悉的定理，那就是圆周角定理：

圆的直径所对的圆周角是直角。

对于学习数学的我们来说，

这个结论无疑是广为人知的。

尽管属于初中知识，

但在高中阶段却经常被应用。

2、圆的垂径定理

那么，垂径定理究竟是什么呢？

其实，我们对此应该更加熟悉。

垂直于弦的直径

平分弦

且平分弦所对的两条弧

这些内容是否似曾相识？

是否还经常在解题中运用到它们！

当然，

为了严谨起见，

我仍需进行简要的说明，

从两个方面：

证明一：无字证明

证明二：理论证明

这个圆的垂径定理，

在高中阶段，

尤其是在《直线与圆》这一章节，

也是一个常用的结论。

但实际上，

从高中的角度来看，

无论是圆的圆周角定理，

还是这个垂径定理，

其本质是相同的。

因为它们，

可以相互推导、互为因果。

3、椭圆的圆周角定理

众所周知，椭圆与圆之间存在密切的关系。

椭圆可以被视为一个被压缩的圆。

那么，

在圆被压缩的过程中，

直径所对的直角将如何变化，

垂径定理又将如何演变呢？

通过这个动图，

大家是否感到十分惊讶？

随着圆的被压缩，

PA与PB之间的垂直关系会发生变化，

这是意料之中的。

但它们斜率之积却依然是定值，

仅仅只是由原来的-1，

变成了另一个定值而已。

这一结果，

既出乎意料，

又令人欣喜。

也许，

这正说明，

圆实际上是椭圆的一种特殊情况吧。

这也让我想起了，

很久以前撰写的一篇文章：

链接：椭圆与圆：本同源，应相伴。

对于这一结果，

还可以总结为以下一般性结论：

这个就算是椭圆的圆周角定理了，

根据圆与椭圆之间的关系，

圆的直径在椭圆中，

便转化为中心弦。

中心弦所对角的两边的斜率

乘积为定值

当然，

这么出色的结论，

还是需要从理论上进行证明的，

至少，

应该找出这个定值吧。

显然，

无论是从数量关系，

还是从动图观察，

这一结论都是成立的。

有人也将这个结论，

称为椭圆的第三定义：

已知A，B是平面内两个定点，点P是平面内一动点，若PA与PB的斜率之积为定值（负值且不等于-1），则动点P的轨迹为椭圆。

4、椭圆的垂径定理

有了圆周角的经验，

同样地，

类似于圆的垂径定理，

椭圆的垂径定理猜想可以表述为：

先不讨论结论，

先说说上面的证明，

这不是用的点差法么？

原来，

一直钟爱的点差法，

最终竟然得到了垂径定理！

那是不是意味着，

今后在运用点差法时，

可以直接考虑应用其结论，

即现在的垂径定理了呢？

当然，

也是直到现在才确信，

原来初中的圆周角定理和垂径定理，

到了高中依然关系密切，

而且更显强大。

切线也是圆的一个重要特征，

其实我们还可以从切线性质出发，

得到椭圆的另一个重要结论。

众所周知，

圆的切线，

总是与圆心与切点连线相互垂直的，

从数量关系上说，

就是它们的斜率之积为-1。

动图显示，

椭圆也具有类似的性质，

只是斜率之积变成了

其实，

如果你愿意，

还可以进一步探索，

这个最优的定值，

原来可以表达为：

就问这样的结论，

于你来说，

是否感到惊喜和意外！

如果还能深入思考，

考虑焦点在y轴上的情况，

同样可以得到定值：

哦，

原来也只是交换了下a,b而已！

定值变成了倒数。

5、双曲线的圆周角定理

椭圆与圆，

最大的相似之处在于形状特征。

而双曲线与椭圆，

最大的相似性则体现在方程结构上。

因此，

还是采用类比的方法，

根据双曲线与椭圆方程的相似性，

可以类比推导出圆周角定理。

原来，

不仅结论的形式非常相似，

而且与椭圆中的定值相比，

也仅只是符号有所不同。

确实，

这组结论真的是非常奇妙。

但记起来，

因为结论过于相似，

会不会有些混淆呢？

所以，

还是看看它离心率的表达式吧。

竟然与椭圆完全一致！

这样记起来，

相信会更加方便。

6、双曲线的垂径定理

既然有相似的圆周角定理，

那一定也会有相似的垂径定理了，

这真是太好了，

连证明过程都是相同的。

那双曲线的切线，

是否也会有与椭圆相似的结论呢？

原来确实如此，

双曲线上任意一点处的切线斜率，

与切点与原点连线的斜率，

乘积依然是定值，

定值依然是：

如果表达成离心率的形式，

与椭圆的表述竟然也是完全一致的，