向量的模长（也称为长度或大小）是衡量向量在空间中位置的一个度量。它表示向量从原点到该向量所在方向上的最大距离。
定义与性质
1. 定义：向量的模长定义为向量各分量平方和的平方根。数学上，如果有一个向量 $\vec{v} = (a, b)$，那么它的模长 $|\vec{v}|$ 可以表示为：
$$
|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}
$$
其中 $a$ 和 $b$ 分别是向量的x和y分量。
2. 性质：
– 模长总是非负的，即 $|\vec{v}| \geq 0$。
– 模长不会超过向量的长度（即向量在x轴和y轴上的投影长度），因为向量的模长不会超过其自身长度。
– 模长是一个标量，不依赖于向量的方向。
计算方法
1. 直接计算：对于任何向量 $\vec{v} = (a, b)$，可以直接计算其模长：
$$
|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}
$$
这是最直观的方法，适用于任何大小的向量。
2. 使用三角不等式：根据三角不等式，如果有两个向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$，那么它们的模长的乘积大于等于这两个向量的点积（内积）：
$$
|\vec{u}||\vec{v}|\geq \|\vec{u}\| \|\vec{v}\|
$$
这个不等式可以用来简化计算，特别是在处理多个向量时。
3. 使用行列式：如果向量 $\vec{v}$ 可以分解为两个非零向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{w}$ 的叉积，那么模长可以通过以下公式计算：
$$
|\vec{v}| = \sqrt{\left(\vec{u} \cdot \vec{w}\right)^2 + (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 + (\vec{w} \cdot \vec{v})^2}
$$
这种方法特别适用于三维空间中的向量。
应用实例
假设我们有一个二维平面上的向量 $\vec{v} = (3, 4)$，我们可以计算其模长：
$$
|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$
这意味着向量 $\vec{v}$ 在二维平面上的长度为5个单位。
掌握向量的模长计算公式是理解向量几何属性的关键。通过上述方法，你可以轻松地计算出任意向量的模长，从而在各种物理、工程和数学问题中应用这些基本概念。