正态分布的可加性公式是统计学中的一个重要概念，它描述了两个或多个正态分布随机变量之和的分布情况。这个公式在概率论、统计学以及机器学习等领域有着广泛的应用。
可加性公式的定义
假设有两个独立的正态分布随机变量 $X$ 和 $Y$，它们的均值 $\mu_X$ 和 $\mu_Y$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的期望值，方差 $\sigma_X^2$ 和 $\sigma_Y^2$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。那么，这两个随机变量之和 $Z = X + Y$ 的分布可以用以下公式表示：
$$ Z \sim N(\mu_X, \sigma_X^2) $$
其中，$\mu_Z = \mu_X + \mu_Y$ 是 $Z$ 的期望值，$\sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$ 是 $Z$ 的方差。
可加性公式的应用
1. 独立随机变量：如果 $X$ 和 $Y$ 是独立的正态分布随机变量，那么 $Z = X + Y$ 也是正态分布的。这意味着两个独立的正态分布随机变量之和仍然是正态分布。
2. 中心极限定理：当 $X$ 和 $Y$ 都是正态分布时，$Z = X + Y$ 的分布接近于正态分布。这是因为两个独立的正态分布随机变量之和的方差是两个方差的和，而两个独立的正态分布随机变量之和的期望值是两个期望值的和。
3. 贝塞尔分布：在某些情况下，$Z = X + Y$ 的分布可能不是正态分布，而是具有特定形状的分布，如贝塞尔分布。这种情况下，可加性公式仍然成立，但需要使用更复杂的方法来分析其性质。
可加性公式的推导
1. 定义随机变量：假设 $X$ 和 $Y$ 是两个独立的正态分布随机变量，分别有均值 $\mu_X$ 和 $\mu_Y$，方差 $\sigma_X^2$ 和 $\sigma_Y^2$。
2. 计算期望值：根据可加性公式，$Z = X + Y$ 的期望值 $\mu_Z$ 可以通过以下公式计算：
$$ \mu_Z = \mu_X + \mu_Y $$
3. 计算方差：$Z$ 的方差 $\sigma_Z^2$ 可以通过以下公式计算：
$$ \sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 $$
4. 验证正态性：由于 $Z = X + Y$ 的期望值和方差都与 $X$ 和 $Y$ 相同，且方差是两个方差的和，所以 $Z$ 的分布是正态分布。
通过以上步骤，我们得到了两个平均值相遇的正态分布可加性公式。这个公式不仅适用于独立随机变量的情况，还适用于其他一些特殊情况，如贝塞尔分布等。