接下来，我们将深入探讨三种概率分布：二项分布、几何分布以及正态分布。本篇首先详解二项分布的有关知识。
二项分布的辨识至关重要。要记住，当分布符合以下特征时，它便是二项分布：
每次事件都是独立且可重复的。
每次事件只有成功与失败两种可能结果。
每次事件成功的概率P是恒定且一致的。
试验的总次数n是固定的。
当一组合数X的离散值集合符合二项分布时，我们可以用特定的符号和公式来表示。其中，n代表总次数，p代表每次事件成功的概率。
一、二项分布概率计算
对于二项分布，若总试验次数为n，成功r次的概率是由以下公式给出：
需强调的是，上述二项分布概率公式表达的意思是：执行某件事情n次，成功r次的概率。务必理解这个含义。如果仅记住公式而不懂其含义，遇到相关题目时可能会感到无从下手。公式中的P即代表每次事件成功的概率，它是恒定且不变的。
抛开繁琐的公式，我们可以这样想象：执行某件事情n次，成功r次的概率，实际上描述的是成功r次（每次概率为P）的情况。按照独立事件原理，要成功r次，其概率就是r个P相乘。因为总次数为n，成功r次意味着失败(n-r)次，因此也要乘以失败的概率，即(1-P)的(n-r)次方。
关于为什么还要乘以排列组合系数，这是因为r次成功可以在n次试验中的任何位置出现，而它们之间的排列组合方式是需要考虑的。这部分知识如果需要补充，可以在学习资源或评论区查找。
理解二项分布概率公式的背后逻辑和含义后，记忆和理解就会变得更加容易。更重要的是，这样理解后，遇到相关题目时能够迅速将题目与知识点相联系，从而更加自信地解答。
二、二项分布的期望值与方差
1、对于二项分布，其期望值表示的是执行某件事情n次时，预期成功的次数。通过这个解释，很容易推导出二项分布期望值的公式。
2、同样地，二项分布的方差和标准差的公式也十分重要。其中涉及到失败的概率q，这些公式可以通过相关数学推导得出。
如有兴趣，可以根据数学原理自行推导这些公式。
三、例题解析
理论知识的讲解之后，我们通过一个具体例题来应用这些理论。
题目：在超市里，假设每个客户购买洗衣粉的概率是0.38。若有8个客户，我们想知道：1) 至少有7人购买洗衣粉的概率是多少？ 2) 3至5人购买洗衣粉的概率是多少？
解答：首先判断，每个客户的购买行为是独立事件，只有买与不买两种可能，且概率相同，目标客户人数固定。这符合二项分布。接下来，我们将利用二项分布的概率公式进行计算。
1) 对于至少7人购买洗衣粉的概率，我们需要计算7人和8人购买的概率之和。
2) 而对于3至5人购买洗衣粉的概率，我们需要分别计算3人、4人和5人购买的概率后求和，再减去重叠的5人购买的概率。
通过这样的方式，我们可以将理论知识与实际问题相结合，更好地理解和应用二项分布。