算术几何分布是一种离散概率分布，它描述了在一系列独立的伯努利试验中，成功次数和失败次数的比例。算术几何分布的期望和方差是两个重要的统计量，它们可以帮助我们理解分布的集中趋势和离散程度。
对于算术几何分布，其期望（即平均值）E(X)可以通过以下公式计算：
E(X) = (1 – p) / p^2
其中，p是每次试验成功的概率。这个公式的推导相对简单，只需要对算术几何分布的概率质量函数进行求和即可得到。
而方差Var(X)，即分布的离散程度，可以通过以下公式计算：
Var(X) = (1 – p) / p^4
这个公式同样可以通过对概率质量函数求导两次并求和得到。
可以看出，期望和方差都与成功概率p密切相关。当p接近1时，期望值会变得很大，而方差会变得很小，这意味着分布更加集中在成功次数较多的情况。相反，当p接近0时，期望值会变得很小，而方差会变得很大，这意味着分布更加分散，成功次数不确定。
算术几何分布的期望和方差在统计学和概率论中有着广泛的应用。它们可以帮助我们评估和预测一系列伯努利试验的结果，从而做出更准确的决策。无论是理论研究还是实际应用，理解算术几何分布的期望和方差都是非常重要的。