超几何分布是一种离散概率分布，用于描述在固定次数的试验中，成功的次数恰好为k的概率。这种分布通常用于医学、工程和社会科学等领域，其中样本大小是固定的，但每个个体的成功或失败是随机的。
超几何分布的基本概念
假设我们有一个固定大小的样本，比如n个个体，其中有m个是成功的（即我们关心的事件）。超几何分布的概率质量函数（PMF）可以表示为：
\[ P(X = k) = \frac{\binom{m}{k} \binom{n-m}{n-k}}{\binom{n}{k}} \]
其中：
– \( X \) 是成功的次数，
– \( m \) 是成功的次数，
– \( n \) 是总的试验次数，
– \( k \) 是成功的次数，
– \( \binom{m}{k} \) 是从m个成功中选择k个的组合数，
– \( \binom{n-m}{n-k} \) 是从n-m个失败中选择n-k个的组合数。
超几何分布的公式推导
为了得到超几何分布的概率质量函数，我们需要使用二项式定理和组合数的性质。我们知道：
\[ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \]
这是因为从n个元素中选取k个元素的方式数等于从n-k个元素中选取n个元素的方式数。
现在，我们可以将二项式定理展开成：
\[ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \]
这里，我们使用了二项式定理的递归关系：
\[ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \]
超几何分布的概率质量函数可以写为：
\[ P(X = k) = \frac{\binom{m}{k} \binom{n-m}{n-k}}{\binom{n}{k}} \]
这就是超几何分布的概率质量函数的完整形式。
超几何分布的应用
超几何分布在实际问题中的应用非常广泛，例如：
– 在医学研究中，如果一个实验中有多个独立的实验组，并且每个实验组都有不同的成功率，那么我们可以计算在固定次数的实验中，成功的次数恰好为k的概率。
– 在市场调查中，如果一个公司有多个产品，并且每个产品的销售情况都是随机的，那么我们可以计算在固定次数的销售中，某个产品销售成功的次数恰好为k的概率。
通过理解和应用超几何分布，我们可以更好地解决实际问题中的统计问题。