探索105度正切值与根号的奥秘，我们可以通过三角函数的和角公式来求解tan105度。首先，我们知道105度可以表示为60度与45度的和，即105度 = 60度 + 45度。利用正切的和角公式，我们有：
tan(105度) = tan(60度 + 45度)
根据正切的和角公式，tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 – tanA tanB)，我们可以将上式代入得到：
tan(105度) = (tan60度 + tan45度) / (1 – tan60度 tan45度)
我们知道tan60度 = √3，tan45度 = 1，代入上式：
tan(105度) = (√3 + 1) / (1 – √3 1)
化简分母：
tan(105度) = (√3 + 1) / (1 – √3)
为了进一步化简，我们可以将分子和分母同时乘以1 + √3，得到：
tan(105度) = (√3 + 1)(1 + √3) / (1 – √3)(1 + √3)
分母变为：
(1 – √3)(1 + √3) = 1^2 – (√3)^2 = 1 – 3 = -2
分子变为：
(√3 + 1)(1 + √3) = (√3 + 1)^2 = (√3)^2 + 2√3 1 + 1^2 = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3
因此：
tan(105度) = (4 + 2√3) / -2
化简得到：
tan(105度) = -2 – √3
所以，tan105度等于-2 – √3。这个结果揭示了105度正切值与根号之间的奥秘，通过简单的三角函数公式和代数化简，我们得到了一个包含根号的简洁表达式。