根据图1，我们可以知道在三角形ABC中，边BC的长度为a，AC的长度为b，AB的长度为c。三角形ABC的外接圆为圆O，其半径为R。经过研究，我们发现三角形ABC的面积（S）与它的三个边长及外接圆半径之间存在一个关系，具体为S等于abc除以4R。
在此之前，让我们先回顾一个几何问题。在这个问题中，我们有一个三角形ABC，其中∠BAC是直角，点D位于AC或CA的延长线上。我们连接了BD，并作出了三角形BDC的外接圆，该圆的直径为d。我们的目标是证明BD乘以BC等于BA乘以圆的直径d。
为了解决这个问题，我们首先要连接BO并延长它，直到与圆相交于点E，然后连接CE。这样，我们可以知道∠BCE是直角（如图3所示）。接下来，我们可以证明直角三角形BAD与直角三角形BCE是相似的，因此BA与BC的比值等于BD与BE的比值。这意味着BD乘以BC等于BA乘以BE，从而证明了我们的结论：BD乘以BC确实等于BA乘以圆的直径d。
基于这个新知识，我们回到主题。在三角形ABC中，我们作AD垂直于BC，垂足为D（如图4所示）。我们可以推导出AB乘以AC等于AD乘以圆的直径的两倍。换句话说，AD等于bc除以2R。而三角形ABC的面积等于二分之一乘以BC乘以AD，也就是二分之一乘以abc除以4R的结果。最终我们依然得到面积S等于abc除以4R。
