两直线交汇之奥秘：揭秘交点坐标与点到直线距离公式的推导过程

在平面几何中，两条直线的位置关系有平行、相交和重合三种。当两条直线相交时，它们会唯一确定一个交点。这个交点的坐标可以通过解联立方程组来求得。

一、交点坐标的推导过程

设两条直线的方程分别为：

L1: \( ax + by + c = 0 \)

L2: \( dx + ey + f = 0 \)

为了找到这两条直线的交点，我们需要解这个方程组：

\begin{cases}

ax + by + c = 0 \\

dx + ey + f = 0

\end{cases}

我们可以使用代入法或消元法来解这个方程组。这里以消元法为例：

1. 将第一个方程乘以 \( d \)，第二个方程乘以 \( a \)，得到：

\begin{cases}

adx + bdy + cd = 0 \\

adx + aey + af = 0

\end{cases}

2. 用第二个方程减去第一个方程，消去 \( x \)：

(ae – bd)y + (af – cd) = 0

3. 解这个关于 \( y \) 的方程：

y = \frac{cd – af}{ae – bd}

4. 将 \( y \) 的值代入第一个方程，解出 \( x \)：

x = \frac{bf – ce}{ae – bd}

因此，交点的坐标为：

\left( \frac{bf – ce}{ae – bd}, \frac{cd – af}{ae – bd} \right)

注意：当 \( ae – bd = 0 \) 时，两条直线平行或重合，此时方程组无解或有无数解。

二、点到直线距离公式的推导过程

设直线的方程为 \( ax + by + c = 0 \)，点的坐标为 \( (x_1, y_1) \)。

点到直线的距离公式为：

d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

推导过程如下：

1. 直线上的任意一点可以表示为 \( (x, y) \)。

2. 点 \( (x_1, y_1) \) 到直线上的点 \( (x, y) \) 的距离 \( d \) 可以表示为：

d = \sqrt{(x – x_1)^2 + (y – y_1)^2}

3. 由于点 \( (x, y) \) 在直线上，满足 \( ax + by + c = 0 \)，即 \( y = -\frac{a}{b}x – \frac{c}{b} \)。

4. 将 \( y \) 代入距离公式中：

d = \sqrt{(x – x_1)^2 + \left( -\frac{a}{b}x – \frac{c}{b} – y_1 \right)^2}

5. 为了简化计算，我们可以考虑点到直线的垂直距离。垂直距离是点到直线上最近点的距离，此时直线的斜率与连接点和直线上最近点的直线的斜率的乘积为 -1。

6. 垂直距离的公式可以通过向量的点积来推导。设直线的法向量为 \( \vec{n} = (a, b) \)，点的坐标为 \( (x_1, y_1) \)，直线上的一点为 \( (x_0, y_0) \)，则有：

d = \frac{|a(x_1 – x_0) + b(y_1 – y_0)|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

7. 由于 \( (x_0, y_0) \) 在直线上，满足 \( ax_0 + by_0 + c = 0 \)，即 \( ax_0 + by_0 = -c \)。

8. 将 \( ax_0 + by_0 = -c \) 代入距离公式中：

d = \frac{|a(x_1) + b(y_1) + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

这就是点到直线的距离公式。

通过以上推导过程，我们可以更好地理解交点坐标和点到直线距离公式的由来，从而在解决相关几何问题时更加得心应手。